Isomorfismo Entre Espacios Vectoriales

Question

Deje $E$ ser un infinito dimensional espacio vectorial. Deje $F\subset E$ ser una de infinitas dimensiones subespacio. Es posible que $F$ es isomorfo a $E$?

Creo que esto no es posible, pero no puedo ver una clara prueba de ello. ¿Alguien tiene alguna idea?

Gracias.

Answer 1

Considere el espacio vectorial arbitrario de secuencias de reales, y el derecho de cambio demapa $$ (x_1,x_2,x_3,\ldots) \mapsto (0,x_1,x_2,\ldots) $$

Answer 2

No es sólo que hay, pero en realidad de un espacio vectorial es de dimensión infinitamente si y sólo si tiene una adecuada subespacio que es isomorfo a.

Una dirección es fácil, si la dimensión es finito, entonces esto es imposible, ya que el isomorfismo es inyectiva y la suma de los rangos del núcleo y de la imagen implica que la imagen de la isomorfismo tiene que ser todo.

Si el espacio es infinitamente dimensiones, vamos a $B=\{v_i\mid i\in I\}$ ser una base de Hamel el espacio, este es un conjunto infinito, por tanto, no es un bijection entre el $B$ $B\setminus\{v\}$ algunos $v\in B$. Este bijection se extiende único para un isomorfismo (tenga en cuenta que la extensión es único, lineal e inyectiva). Claramente la imagen de dicho isomorfismo es un buen subespacio, ya $v$ no está en la imagen.

(Tenga en cuenta el axioma de elección fue ampliamente utilizado aquí por la elección de una base y para el bijection con un subconjunto; sin el axioma de elección es coherente que hay muy extraño espacios vectoriales que no son finitely generados, pero no tienen esta propiedad.)

Answer 3

Esto es similar a la pregunta de si un conjunto infinito puede asignada bijectively a un subconjunto. De hecho, esto es cierto, por ejemplo, $\mathbb N_{\geq 0} \mapsto \mathbb N_{\geq 1}, n \mapsto n+1$ es un bijection. Esto puede ser convertido en un ejemplo para la instrucción correspondiente para espacios vectoriales: Vamos a $E$ ser el espacio vectorial libremente generada por $\mathbb N_{\geq 0}$ $F$ ser el subespacio libremente generada por $\mathbb N_{\geq 1}$. El mapa de $n \mapsto n+1$ mapas de la base de $E$ bijectively a la base de la $F$, por lo tanto induce un isomorfismo de espacios vectoriales. $E$ puede ser visto como el espacio de secuencias finitas $(a_i)_{i\geq 0}$$k$, $F$ es el subespacio de las secuencias de $(a_i)_{i\geq 0}$ $a_0 = 0$ y el mapa inducida por $n \mapsto n+1$ es el derecho de turno $$(a_0,a_1,a_2,\ldots) \mapsto (0,a_0,a_1,\ldots).$$