Probabilidad de que un número entero es divisible por un primo $p$

Question

¿Puede alguien explicar por qué la probabilidad de que un número entero es divisible por un primo $p$ (o cualquier entero) es $1/p$?

Answer 1

Como dije en un comentario, la noción de 'probabilidad' sobre el conjunto de todos los números enteros (o, equivalentemente, los números naturales) está plagado de algún peligro. Una mejor instrucción de la cuestión es que el natural de la densidad de los números divisibles por $p$$\frac{1}{p}$. Natural de la densidad de capturas de lo que piensa la gente como probabilidad; simplemente representa el límite de la proporción de números enteros con la propiedad dada. Más específicamente, la forma natural de la densidad de un conjunto $A$ se define como el límite de $\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\#\left\{i:i\leq n \wedge i\in A\right\}$. Para obtener más detalles, consulte http://en.wikipedia.org/wiki/Natural_density.

En su caso particular, el natural de la densidad resultado es fácil de probar: el número de lavados $i\leq n$ que son divisibles por $p$ (llamar a este recuento $c$) satisface $\frac{n}{p}-1\lt c\lt \frac{n}{p}+1$, por lo que la densidad de $d = \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{c}{n}$ satisface $\frac{1}{p}-\frac{1}{n}\lt d\lt \frac{1}{p}+\frac{1}{n}$ todos los $n$; por lo tanto debemos tener $d=\frac{1}{p}$.

Answer 2

Ver http://en.wikipedia.org/wiki/Coprime_integers#Probabilities.