Si $\|u\|^2 = c^2$,$\|\dot x\|^2 \to a $$\ddot x = -\dot x + u(t)$?

Question

Estoy tratando con la siguiente ecuación simple

$$ \ddot x = -\dot x + u(t), $$ donde$u, x\in\mathbb{R}^m$,$m \geq 1$, y me pregunto si por $\|u\|^2 = c^2 > 0$ $\|\dot x\|^2\to a$ donde $a\in\mathbb R^+$.

Para el caso trivial de tener $m = 1$ es claro, sin embargo, no sé si es cierto para $m > 1$. Cualquier sugerencias o referencias?

Editar

El próximo cálculos muéstrame un obligado para $||\dot x(t)||$, pero no sé cómo demostrar que converge a una constante (si este es el caso).

Tome $y = \dot x$, luego

$$ y(t) = e^{-t}y(0)+\int_0^\tau e^{-I(t-\tau)}u(\tau)d\tau \\ |y(t)| \leq e^{-t}|y(0)|+\int_0^\tau \left|e^{-I(t-\tau)}\right| \, \left|u(\tau)\right|d\tau \\ |y(t)| \leq e^{-t}|y(0)|+ \sup (|u(\sigma)|)_{0\leq\sigma\leq\tau} \int_0^\tau \left|e^{-I(t-\tau)}\right| d\tau, $$ y saber que $|u(t)| = c, \forall t$, luego

$$ |y(t)| \leq e^{-t}|y(0)| + c \\ $$ Luego si puedo tomar el límite de $t\to\infty$ en el antes de la expresión. Puedo concluir que $|y(t)| \leq c$, lo $|\dot x(t)| \leq c$ al $t\to\infty$.

Cómo continuar a partir de aquí? Sospecho que está relacionado con la energía. Si estamos de bombeo constante de energía y el sistema sólo puede disipate cierta energía por unidad de tiempo, que se llega a un equilibrio en el sentido de energía, es decir, $\dot x(t)$ podría no ser constante, pero su norma sí.

Answer 1

Si $u$ representa una fuerza externa que es periódico, podemos esperar que la oscilación forzada se produce. En otras palabras, se espera un asintóticamente solución periódica de $\dot{x}(t)$ en este caso. Así que hay un montón de habitaciones para crear asintótica a la periodicidad de las $|\dot{x}(t)|$.

En efecto, considere la posibilidad de $m = 2$ e identifique $(\Bbb{R}^2, \| \cdot \|) \simeq (\Bbb{C}, |\cdot|)$. Deje $k > 0$ y considerar

$$ u(t) = \exp(ik\sin t). $$

Entonces tenemos

\begin{align*} \dot{x}(t) &= e^{-t}\dot{x}(0) + \int_{0}^{t} e^{-\tau}u(t-\tau) \, d\tau \\ &= e^{-t}\dot{x}(0) + \int_{0}^{t} \exp(-\tau + ik\sin(t-\tau)) \, d\tau \\ &= \int_{0}^{\infty} \exp(-\tau + ik\sin(t-\tau)) \, d\tau + \mathcal{O}(e^{-t}). \end{align*}

Deje $f : [0, \infty) \to \Bbb{C}$ ser definido por

$$f(t) = \int_{0}^{\infty} \exp(-\tau + ik\sin(t-\tau)) \, d\tau. $$

A continuación, $f$ $2\pi$- periódico. Así que basta con encontrar dos valores de $t_1$ $t_2$ tal que $|f(t_1)| \neq |f(t_2)|$. Esto puede lograrse mediante la adopción de algunas decisiones apropiadas de $t_1$, $t_2$ y la realización de la integración numérica.

La trayectoria de $f(t)$ $k = 6$ es la siguiente:

Answer 2

Lo que está describiendo es BIBO (Bounded Input Bounded Output) estabilidad si selecciona $y = \dot{x}$. Es bien sabido que si un sistema LTI es asintóticamente estable, entonces también es BIBO estable. Dado que el sistema es claramente asintóticamente estable ($A = -I$), su declaración es verdadera.

Edit: es asintóticamente estable para todos los $m$. La solución es

$$\dot{x}(t) = \int_0^t e^{-I(t - \tau)} u(\tau) d \tau$$

para $x(0) = 0$. Desde $u$ es limitado y $\lim_{t \to \infty} e^{-It} = 0$, esta integración es finito.

Answer 3

La propiedad importante del sistema bajo estudio es que la matriz de transición está dada por $e^{At}=e^{-t}\mathbb{I}_n$. Por lo que la educación a distancia solución es $\dot{x}(t)=e^{-t}\dot{x}(t_0)+\int_0^t{e^{-(t-s)}u(s)ds}$. Por cálculo directo luego tenemos la $\|\dot{x}(t)\|^2=x^T(t)x(t)=e^{-2t}\|\dot{x}(t_0)\|^2+2e^{-t}\int_0^t{e^{-(t-s)}u^T(s)ds}\dot{x}(t_0)+{\int_0^t\int_0^t{e^{-[2t-(s_1+s_2)]}u^T(s_1)u(s_2)ds_1ds_2}}.$

Los dos primeros términos convergen exponencialmente a cero y, por tanto, $\lim_{t\rightarrow\infty}\bigg[\|\dot{x}(t)\|^2-{\int_0^t\int_0^t{e^{-[2t-(s_1+s_2)]}u^T(s_1)u(s_2)ds_1ds_2}}\bigg]=0 $

pero no veo una razón obvia para la $\lim_{t\rightarrow\infty}{\int_0^t\int_0^t{e^{-[2t-(s_1+s_2)]}u^T(s_1)u(s_2)ds_1ds_2}}=a$.