Demostrando $|f'(z)|\leq\frac{\text{Re}(f(z))}{\text{Re}(z)}$

Question

Estudiar para un examen preliminar, me encontré con la siguiente pregunta:

Deje $D = \{z \in \Bbb C : \text{Re}( z )> 0\}$ $f : D \to D $ ser un holomorphic función. Demostrar que $$|f'(z)|\leq\frac{\text{Re}(f(z))}{\text{Re}(z)}\quad \text{for all }z\in D.$$

Pensé que la mejor opción podría ser utilizar el hecho de que la armónica de funciones satisfacen la máxima módulo principio, también, junto con el límite de la definición de la derivada, pero no he sido capaz de resolverlo. ¿Cómo debo enfocar este problema?

Answer 1

Vamos a poner esto en un contexto más amplio.

Hecho 1. Si $D$ es simplemente conectado dominio y $f:D\to D$ es un holomorphic mapa con el punto fijo $a$,$|f'(a)|\le 1$.

Prueba: aplicar el lema de Schwarz a $g^{-1}\circ f\circ g$ donde $g$ mapas de la unidad de disco en $D$, de modo que $g(0)=a$. $\quad \Box$

Comentario: uno puede caer "conecta" de Hecho 1, pero entonces la prueba requiere más herramientas.

Para aplicar Hecho 1 aquí, fix $a\in D$ y considerar $g=\phi\circ f$ donde $\phi$ es un automorphism $\phi$ $D$ que envía a$f(a)$$a$. Desde $|g'(a)|\le 1$, se deduce que el $|f'(a)|\le |\phi'(f(a))|^{-1}$.

Observe que $D$ puede ser cualquiera simplemente conectado dominio anterior. Su forma entra en juego sólo cuando construimos $\phi$. Que para la mitad derecha del plano-resulta ser
$$\phi(z)=\frac{\operatorname{Re}a}{\operatorname{Re}f(a)}\, (z-\operatorname{Im}f(a)) +i \operatorname{Im}a $$