Supongamos que $T'\in \mathcal{L}(W',V')$ es un isomorfismo. Es $T$ ¿un isomorfismo?

Question

Supongamos que $T'\in \mathcal{L}(W',V')$ es un isomorfismo. Además, supongamos que $V$ y $W$ no son de dimensión finita.

Mi profesor afirma que si $T'$ es un isomorfismo, entonces se puede demostrar que también lo es $T$ . Todos los teoremas disponibles en mi libro de texto hablan SOLO de espacios vectoriales finitos, y una pregunta separada pero relacionada que hice aquí recibió muchos comentarios esencialmente en el sentido de "no hay manera de saberlo".

Esto es para una tarea, y se supone que nuestras respuestas provienen de teoremas que hemos aprendido a lo largo del curso. No veo cómo llegar al resultado final utilizando lo que sé (sólo espacios vectoriales finitos).

Answer 1

Supongamos que $T$ no es un isomorfismo. Entonces, o bien $T$ no es inyectiva o no es sobreyectiva. Si $T$ no es inyectiva, dejemos que $v\neq 0$ sea tal que $T(v)=0$ y que $\alpha\in V'$ sea tal que $\alpha(v)\neq 0$ . Tenga en cuenta que para cualquier $\beta\in W'$ , $(T'\beta')(v)=\beta(Tv)=\beta(0)=0$ Así que $T'\beta'\neq\alpha$ . Así, $T'$ no es suryectiva, por lo que no es un isomorfismo.

Supongamos ahora que $T$ no es sobreyectiva. Entonces el espacio cociente $W/T(V)$ es no trivial, por lo que existe un mapa lineal no nulo $\alpha:W/T(V)\to k$ (donde $k$ es el campo escalar). Sea $q:W\to W/T(V)$ sea el mapa cociente y que $\beta\in W'$ sea dada por $\beta(w)=\alpha(q(w))$ . Desde $\alpha\neq 0$ y $q$ es suryente, $\beta\neq 0$ . Para cualquier $v\in V$ , $q(T(v))=0$ Así que $\beta(T(v))=\alpha(q(T(v)))=0$ . Así, $T'(\beta)=0$ . Desde $\beta\neq 0$ , $T'$ no es inyectiva, por lo que no es un isomorfismo.