Calcula el límite sin la regla de L'Hospital

Question

No estoy seguro de cómo manejar las funciones trigonométricas con diferentes argumentos al calcular este límite utilizando la regla de L'Hospital.

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac {x^2\cos(\frac {1} {x})} {\sin(x)}.$$

He llegado a la respuesta numérica correcta a través de un método diferente, pero no estoy seguro de que la lógica sea válida para todos los casos (tal vez llegué a la respuesta correcta por casualidad).

Aquí está mi trabajo:

Dejemos que $g(x)=x^2\cos(\frac 1 x)$ y $h(x) = \frac 1 {\sin x} = \csc x$ .

Sabemos que lo siguiente es cierto para todos $x$ : $$-1 \le \cos (\frac 1 x) \le 1$$ Desde $x^2 \ge 0$ para todo x: $$-x^2 \le x^2\cos (\frac 1 x) \le x^2$$ Tomando los límites como $x \rightarrow \infty$ da: $$ \lim_{x\rightarrow 0}(-x^2)\le \lim_{x\rightarrow 0}(x^2\cos (\frac 1 x)) \le \lim_{x\rightarrow 0}(x^2)$$ Por la regla del sándwich (o teorema del apretón): $$ 0 \le \lim_{x\rightarrow 0}(x^2\cos (\frac 1 x)) \le 0$$ $$ \Rightarrow \lim_{x\rightarrow 0}(x^2\cos (\frac 1 x)) $$ Y por lo tanto, debido al álgebra de los límites: $$\lim_{x \rightarrow 0} \frac {x^2\cos(\frac {1} {x})} {\sin(x)} = 0.$$

Answer 1

$$ \frac {x^2\cos\frac 1 x} {\sin x} = x\cdot \frac x {\sin x} \cdot \cos\frac 1 x $$ Ahora utiliza el hecho de que $-1 \le \cos \frac 1 x \le 1$ y $x\to0$ y un hecho más que no se menciona en su pregunta: $$ \frac x {\sin x} \to 1 \text{ as } x\to0. $$ Sin ese último dato o algo más de lo que hay en tu pregunta, no has tratado el hecho de que $\sin x \to0.$

Answer 2

Tenga en cuenta que $$\lim_{x \to 0}\frac{\sin(x)}{x} = \lim_{x \to 0}\frac{x}{\sin(x)} = 1$$

Entonces

\begin{align} L=\lim_{x \to 0} \frac{x^2\cos(1/x)}{\sin(x)} &= \lim_{x \to 0}\frac{x}{\sin(x)}\frac{x \cos(1/x)}{1}\\ &=\lim_{x \to 0}x \cos(1/x) \end{align} Y por el Teorema del Apretón

$$-1 \le \cos(1/x) \le1$$ $$-x \le x\cos(1/x) \le x$$ $$0 \le \lim_{x \to 0}x \cos(1/x) \le 0$$ $$L=0$$

Answer 3

$$\begin{align}L&=\lim_\limits{x\to0}\dfrac x{\sin x}\cdot\lim_\limits{x\to0}x\cos\left(\dfrac1x\right)\\&=\lim_\limits{x\to0}x\cos\left(\dfrac1x\right)\end{align}$$

Sabemos que $$\begin{align}-1&\le\cos\left(\dfrac1x\right)\le1\\-x&\le x\cos\left(\dfrac1x\right)\le x\\\lim_\limits{x\to0}(-x)&\le\lim_\limits{x\to0} x\cos\left(\dfrac1x\right)\le\lim_\limits{x\to0}x\end{align}$$

Así que, $$\lim_\limits{x\to0} x\cos\left(\dfrac1x\right)=0$$ a través de la Teorema del apretón

Y por lo tanto $$L=0$$ a través de $$\lim_{n\to c} a_nb_n=\lim_\limits{n\to c}a_n\cdot\lim_\limits{n\to c}b_n$$

Answer 4

Utilice análisis asintótico : sabes $\sin x \sim_0 x$ Por lo tanto $\dfrac{x^2}{\sin x} \sim_0 \dfrac{x^2}x=x $ .

Además, $\Bigl\vert\cos\dfrac1x \Bigr\vert \le 1$ Así que $$\smash{\dfrac{x^2\cos\dfrac1x}{\sin x}} = O(x)\to 0.$$