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Una "rápida" de manera que para el cómputo de los $\sum\limits_{n=1}^{100} n\times 2^n $

Cómo calcular la 'z', donde $\displaystyle z = \sum_{n=1}^{100} n\times 2^n$ ?

La respuesta es de la forma $99 \times 2^{101} + 2$, necesito un rápido enfoque como este problema se supone que para ser resuelto en menos de un minuto.

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Shabaz Puntos 403

Si definimos $y=\sum_{n=1}^{100}x^n=\frac{x^{101}-1}{x-1}$, $z=x\frac{dy}{dx}$ evaluado en $x=2$. Me encanta tomar la derivada con respecto al $2$.

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Eric Naslund Puntos 50150

En realidad podemos resolver este problema sin cálculo. (Ver esta respuesta.)

Solución completa: Permite encontrar una fórmula general para la siguiente suma para cualquier $r,m$: $$S_{m}=\sum_{n=1}^{m}nr^{n}.$$

Esto puede derivar en una manera similar a la fórmula de la serie geométrica. Observe que $$S_{m}-rS_{m}=-mr^{m+1}+\sum_{n=1}^{m}r^{n}$$

$$=-mr^{m+1}+\frac{r-r^{m+1}}{1-r}=\frac{mr^{m+2}-(m+1)r^{m+1}+r}{1-r}.$$ Hence $$S_m = \frac{mr^{m+2}-(m+1)r^{m+1}+r}{(1-r)^2}.$$
Esta igualdad se cumple para cualquier $r$, por lo que dejando $r=2$ se puede concluir

$$\sum_{n=1}^m n2^n = m2^{m+2}-(m+1)2^{m+1}+2=2^{m+1}(m-1)+2.$$

Espero que ayude,

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