Cómo calcular la 'z', donde $\displaystyle z = \sum_{n=1}^{100} n\times 2^n$ ?
La respuesta es de la forma $99 \times 2^{101} + 2$, necesito un rápido enfoque como este problema se supone que para ser resuelto en menos de un minuto.
Cómo calcular la 'z', donde $\displaystyle z = \sum_{n=1}^{100} n\times 2^n$ ?
La respuesta es de la forma $99 \times 2^{101} + 2$, necesito un rápido enfoque como este problema se supone que para ser resuelto en menos de un minuto.
En realidad podemos resolver este problema sin cálculo. (Ver esta respuesta.)
Solución completa: Permite encontrar una fórmula general para la siguiente suma para cualquier $r,m$: $$S_{m}=\sum_{n=1}^{m}nr^{n}.$$
Esto puede derivar en una manera similar a la fórmula de la serie geométrica. Observe que $$S_{m}-rS_{m}=-mr^{m+1}+\sum_{n=1}^{m}r^{n}$$
$$=-mr^{m+1}+\frac{r-r^{m+1}}{1-r}=\frac{mr^{m+2}-(m+1)r^{m+1}+r}{1-r}.$$ Hence $$S_m = \frac{mr^{m+2}-(m+1)r^{m+1}+r}{(1-r)^2}.$$
Esta igualdad se cumple para cualquier $r$, por lo que dejando $r=2$ se puede concluir
$$\sum_{n=1}^m n2^n = m2^{m+2}-(m+1)2^{m+1}+2=2^{m+1}(m-1)+2.$$
Espero que ayude,
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