2 cálculo de las preguntas con la integración de verificación de mí

Question

Tengo 2 preguntas que me gustaría ayuda con.

1) Encontrar el área de la región limitada por las gráficas de $y=5x, y=15x, y=\frac{4}{x}, y=\frac{8}{x}$

Esto era muy difícil y tedioso.

Tuve problemas para hacer de ella hacia abajo para que me atrajo de ti mediante un programa de ordenador, y si he entendido correctamente la pregunta, estamos obligados a encontrar la zona que he marcado con un círculo en esta imagen https://fbcdn-sphotos-h-a.akamaihd.net/hphotos-ak-prn2/v/t35.0-12/10360308_10152462327944628_1787541395_o.jpg?oh=8f0647c808a4e0cbfad86286492e792f&oe=53787F81&gda=1400376869_ad976f8063efd7f49d8eb9b1ee9a894d

Voy a ahorrarles toda mi cálculos, fue fácilmente más de 3 páginas, básicamente, ya que no tengo forma fácil de encontrar esta integral, me enteré de la zona de la pequeña región de amarillo, azul y verde, entonces dibujé una línea paralela al eje x desde el punto de convergencia de rojo y amarillo, que se encuentra el área de la región vinculados entre rojo, azul, y el paralelo de la línea que nos trazamos.

Entonces me encontré con el área de todo triángulo, y se resta de las áreas que hemos encontrado antes de. por eso me aislado del área solicitada y mi respuesta final es $\frac{2\sqrt{30}}{15}-4\sqrt{12}+4\sqrt{60}-8-log(9) \approx 12.0549$

Ahora solo multiplicar por 2 para obtener la respuesta para ambos círculos.

Tiene que haber una manera más fácil. Me gustaría comparar sus respuestas con las de alguien más informado.

2) Hallar el área de la región obligados dentro del bucle $(x+y)^3 =axy$ , $a >0$ en el primer cuadrante.

Sugerencia: Use la transformación $x=rcos^2 \theta$, $y=rsin^2 \theta$

Lo que yo hice:

Básicamente, sólo quiero para asegurarse de que tiene los límites a la derecha.

si hacemos la transformación sugerida, obtenemos $r^3 =ar^2 cos^2\theta sin^2 \theta$

dividir por $r^2$ conseguir $r=acos^2 \theta sin^2 \theta$ $r$ varía de $0$ $a\cos^2\theta sin^2 \theta$

Cómo podemos saber lo $\theta$ varía?

Answer 1

Para el primer problema, el cambio de variables a$u=\frac{y}{x}$$v=xy$. A continuación, desea integrar en la región con $(u,v)\in[5,15]\times[4,8]$. Por el Cambio de Variables Teorema, $$\int_{\phi(S)}f(x,y)\,dxdy=\int_Sf(u,v)\,|\det D\phi|\,dudv$$ donde $D\phi$ es la matriz de Jacobi de la asignación de $$\phi(u,v)=\langle \underbrace{v^{1/2}u^{-1/2}}_{=x},\underbrace{v^{1/2}u^{1/2}}_{=y}\rangle$$

(Tenga en cuenta que esto sólo va a producir la región en el primer cuadrante, debido a $x$ $y$ son positivos. Para calcular la inversa de a $\phi$, usted tiene que separar las dos regiones, sino que tendrá la misma zona por la simetría.) La matriz de Jacobi es $$D\phi=\begin{pmatrix}\frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v}\\\frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac{1}{2}v^{1/2}u^{-3/2} & \frac{1}{2}v^{-1/2}u^{-1/2} \\ \frac{1}{2}v^{1/2}u^{-1/2} & \frac{1}{2}u^{1/2}v^{-1/2}\end{pmatrix}$$ El determinante de esta matriz es $$-\frac{1}{4}u^{-1}-\frac{1}{4}u^{-1}=-\frac{1}{2u}$$

Desde $u>0$ en nuestra región de integración, el valor absoluto de este determinante es $\frac{1}{2u}$. Así que nuestra integral es $$\int_4^{8}\int_5^{15}\frac{1}{2u}\,dudv=\frac{1}{2}\cdot 4\ln3=2\ln 3=\ln 9$$

Tiene doble esta opción si desea incluir a la región en el tercer cuadrante.

Answer 2

Más profundas disculpas, me dio un error en la declaración en su primer problema. Los registros no cancelar.

La forma más fácil de hacer este problema es el cambio de variables u = y/x y v = xy. A continuación, cada uno de la envolvente de las curvas se convierte en una línea horizontal o vertical de la línea recta. Puesto que usted ya sabe el vértice, los puntos, las ecuaciones de las nuevas líneas son triviales para obtener. El Jacobiano de la transformación es -2u para integrar -1/(2u) sobre el rectángulo. La última parte difícil es que la identidad de la vertical han intercambiado, así que usted tiene que negar la respuesta. (De ahí viene la respuesta fuera positiva.)

Para el segundo problema, el de coordenadas polares la ecuación r = (a/4) sin^2(2 theta). En el primer cuadrante, theta rangos de 0 a pi/2, y que traza la curva de una vez, así que esos son los límites de la derecha. Por el camino, la integral es fácil si usted se transforman con phi = 2 theta y observe que la integral de 0 a pi de los pecados^2 phi es igual a la integral de 0 a pi de cos^2 phi. Sugerencia - añadir los dos idénticos integrales.