Pregunta sobre la torre exponencial de 19

Question

Considera: $$ y = \underbrace{19^{19^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{19}}}}}}_{101 \text{ times}} $$ con la torre que contiene un centenar de $ 19$ s. Toma la suma de los dígitos del número resultante. Vuelve a sumar los dígitos de este nuevo número y obtén la suma. Sigue haciendo este proceso hasta que llegues a un número de un solo dígito. Encuentra el número.

Esto es lo que he probado hasta ahora:- Cada número que es una potencia de $19 $ tiene que terminar en $1 $ o $ 9$ . Además, jugando un poco, tomando diferentes potencias de $19$ , descubrí que, independientemente de la potencia de $19$ , tanto si se trata de un número impar como de un número par, el número de una sola cifra que se obtiene al final es siempre $ 1$ . He intentado probar esto, pero no tengo ni idea de cómo hacerlo. ¿Puede alguien ayudarme?

Answer 1

$$10^0a_0+10^1a_1+10^2a_2+\ldots+10^na_n=(a_0+a_1+\ldots+a_n)+\text{a multiple of }9.$$

Por lo tanto, tomando la suma de los dígitos de un número se obtiene un número que deja el mismo resto, en la división por $9$ como el que tenías antes (y también es más pequeño siempre que el número original no sea $<10$ ). Por lo tanto, el proceso termina con un número de un dígito que deja el mismo resto bajo la división por $9$ son su número.