Una convergencia problema real no negativo de la secuencia, $\sum_{n=1}^\infty a_n$.

Question

Ahora tenemos $a_n\geq 0$, $\forall n=1,2,...,$ y $\sum_{n=1}^\infty a_n <\infty$. Entonces supongo que $\lim_{n\to\infty} a_n \cdot n = 0$. Pero me di cuenta de que es un error. Ya que si dejamos $a_n = 1/n $ si $n = 2^i$ algunos $i=1,2,...$ $a_n = 0$ para el resto de la $n$.

Entonces tenemos que $\sum_{n=1}^\infty a_n = 1/2 + 1/4 + 1/8 + \cdots < \infty$, e $a_n\cdot n$ no converge a $0$.

Ahora puedo añadir otra condición que $a_n$ es no creciente. ¿Este resultado celebrar este momento. es decir, la cuestión formal es la siguiente:

$a_n\geq 0$, $\forall n=1,2,...,$ y $a_n$ es no creciente, y $\sum_{n=1}^\infty a_n <\infty$. Luego resulte $a_n \cdot n \to 0$, o dar un contraejemplo que $a_n\cdot n$ no necesariamente convergen a $0$

Answer 1

Es cierto que $a_n \cdot n \rightarrow 0$ bajo esta condición.

Para probar esto, se observa que si la serie es convergente, la secuencia de sumas parciales es una secuencia de Cauchy. En particular, para cada $\varepsilon > 0$, hay algunos $N_0 = N_0(\varepsilon)$ de manera tal que cada vez que $n > m > n_0$, $\left| \sum_{i=1}^n a_i - \sum_{i=0}^m a_i \right| < \varepsilon$.

Ahora considere la posibilidad de tomar $m = N_0 + 1$$n \ge 2m$. Entonces tenemos $$ \sum_{i=1}^n a_i - \sum_{i=0}^m a_i = \sum_{i=m+1}^n a_i = a_n \cdot (n-m) + \sum_{i=m+1}^n (a_i - a_n) \ge a_n \cdot (n-m),$$ por el no aumento de la propiedad de la secuencia de $(a_n)_n$.

Por lo tanto $a_n \cdot (n-m) < \varepsilon$ siempre $n \ge 2(N_0 + 1)$. Sin embargo, desde $n \ge 2m$, $n-m \ge \frac12 n$, y por lo $a_n \cdot n \le 2 a_n \cdot (n-m) < 2 \varepsilon$.

Desde $\varepsilon$ puede ser llevado a ser arbitrariamente pequeño, esto, junto con la no-negatividad de $a_n$, demuestra $a_n \cdot n \rightarrow 0$.

Answer 2

Definir $ b_n:= n$

$\frac{1}{b_n} \sum_{i = 1}^n b_i a_i = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^n i a_i \geq^{(1)} \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^n i a_n \\\ = a_n \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^n i = a_n \frac{1}{n} \frac{(n+1)n}2 = a_n \frac{1}{n} \frac{(n+1)n}2 = a_n \frac{n+1}{2} \geq 0$

Por Kronecker del lexema, $\lim_{n\to \infty}\frac{1}{b_n} \sum_{i = 1}^n b_i a_i = 0$

Por paleta teorema, $ 0 = \lim_{n\to \infty} \frac{1}{b_n} \sum_{i = 1}^n b_i a_i \geq \lim_{n\to \infty} a_n \frac{n+1}{2} \geq 0$

Por lo tanto, $\lim_{n\to \infty} a_n (n+1) = 0$

Por el convegence de la suma de $a_n$, $\lim_{n \to \infty} -a_n = 0$.

Por lo tanto, $\lim_{n\to \infty} a_n n = \lim_{n\to \infty} a_n (n+1) - a_n = 0 $

Donde el (1) proviene de la disminución de la secuencia.