Deje $f(x)$ ser continua en $[0,2]$, y diferenciable en a $(0,2)$ tal que $0<f(1)<f(0)<f(2)$. Demostrar que $f'$ tiene una solución en $(0,2)$

Question

Deje $f(x)$ ser continua en $[0,2]$, y diferenciable en a $(0,2)$ tal que $0<f(1)<f(0)<f(2)$. Demostrar que $f'$ tiene una solución en $(0,2)$.

Aquí es un poco cutre dibujo:

Mi intento:

De $f(1)<f(0)<f(2)$ y la continuidad, hay un punto de $c\in (1,2)$ tal que $f(c)=f(0)$, $f$ es continua en a $[0,c](\subseteq[0,2])$, diferenciable en a$(0,c)(\subseteq(0,2))$, por lo que a partir de Rolle sabemos que hay algunos $k\in (0,c)$ tal que $f'(k)=0$.

Es esta bien? Hay otra manera de hacer esto? Tal vez con Lagrange del MVT?

Nota: no integración o de Taylor.

Answer 1

Por el Teorema del Valor Intermedio, existe un punto de $c \in (1, 2)$ tal que $$f(c) = f(0),$$ puesto que, por hipótesis de $f(1) < f(0) < f(2)$.

Aplicar el teorema de Rolle en el intervalo de $[0, c]$ se obtiene el resultado deseado.

---

Por Weierstrass' Extrema Teorema del Valor, la función continua $f$ alcanza un máximo o de un mínimo de $m$$[0, 2]$. Por hipótesis de $m \in (0, 2)$. Desde $f$ es diferenciable, por el teorema de Fermat que debe satisfacer $$f'(m) = 0.$$

Answer 2

Desde $f$ es continua y $[0,2]$ es compacto, $f$ alcanza su mínimo global en algún punto de $x_0\in[0,2]$. Como $f(1)<f(0)$$f(1)<f(2)$, vemos que, de hecho,$x_0\in(0,2)$. Como tenemos un mínimo en un intervalo abierto, llegamos a la conclusión de $f'(x_0)=0$.

Answer 3

Después de la discusión con Daniel Fischer me decidí a salir de esta como una respuesta.

La primera cosa a notar es que el $f$ no es diferenciable sólo en los extremos, por lo tanto, es diferenciable en todas partes en el interior de $I=(a,b)$.

En segundo lugar, desde la $f(1)<f(0)$$f(1) <f(2)$, cualquiera de los dos intervalos de existir: $$ I_1 = [\alpha, \beta] \ \text{s.t.} 0<\alpha<\beta \leq 1\\ I_2 = [\gamma \delta] \ \text{s.t.} 1 \leq \gamma <\delta < 1 $$ donde $f$ tiene un punto crítico, y en este punto crítico es diferenciable (también puede ser $f(1)$, por lo tanto el débil desigualdad anterior). Ya que es diferenciable, $f'$ es continua y cambia de signo $\to \ f'$ tiene una solución en al menos 1 punto en $I$.