Prueba de

Question

Tengo el siguiente proposición a demostrar:

Para todos $m \in\mathbb\ Z$, $m \cdot 0 = 0 = 0 \cdot m$

Puedo utilizar los siguientes axiomas:

1. conmutatividad
2. la asociatividad
3. la distributividad
4. identidad para la suma ($0$)
5. identidad para la multiplicación ($1$)
6. inverso aditivo
7. cancelación: Vamos a $m,n,p$ ser números enteros. Si $m \cdot n = m \cdot p$$m \ne 0$,$n = p$.

Aquí está mi prueba:

\begin{align*} m \cdot 0 &= m \cdot (m + (-m))\\ m \cdot 0 &= (m \cdot m) + (m \cdot (-m))\\ m \cdot 0 &= (m \cdot m) +(m \cdot -1 \cdot m) \\ m \cdot 0 &= (m \cdot m) +-1 \cdot (m \cdot m) \\ m \cdot 0 &= (m \cdot m) - (m \cdot m) \\ m \cdot 0 &= 0 \end{align*}

Sin embargo, no estoy seguro, dado que un simple conjunto de axiomas, que esta solución es correcta. Más específicamente, es el factoring $-m$ $-1 \cdot m$ aceptable? O es otra proposición que debo probar de antemano?

Answer 1

Depende. ¿Cuáles son sus axiomas? ¿Cuál es su definición de la notación $-m$?

Si $-m$ se define como el inverso aditivo de a $m$, entonces no, no puedes factor de $-m = -1\cdot m$ hasta que demuestre que esto es cierto.

EDIT: Para el particular axiomas que usted ha enumerado, el comprobante de hecho, bien puede ser circular, ya que la forma más sencilla de demostrar que $-1\cdot m = -m$ es agregar $m$ $-1\cdot m$y muestran que esta suma es igual a cero. He aquí una sugerencia para comenzar para su problema original:

$$m\cdot 0 = m\cdot (0+0)$$ por el axioma de identidad aditiva. Se puede ver cómo tomar desde aquí?

Answer 2

Supongamos que m es un número entero. Por la propiedad conmutativa sabemos que m.0 = 0.m.

Ahora, sólo tenemos que demostrar únicamente que m.0 = 0. Utilizamos m = m, entonces

m.1 = m.1 porque 1 es la identidad en la multiplicación.

m.(1+0) = m.1 porque 0 es la identidad en la adición.

Usando la propiedad distributiva,

(m.1)+(m.0) = (m.1)

m +(m.0) = m

-m + m +(m.0) = -m + m (m-a es la inversa de m por debajo de la adición.)

(-m + m) +(m.0) = (m + m), propiedad asociativa.

0 +(m.0) = 0 porque la definición de la identidad en la adición.

m.0 = 0 Q. E. D.