Counterterm de Lagrange y Renormalisation?

Question

Voy a través de las notas en QFT por M. Srednicki (en línea: http://web.physics.ucsb.edu/~mark/qft.html), y estoy teniendo un tiempo difícil comprender el "renormalised" de Lagrange.

Considerar una de Klein-Gordon escalares del campo, con un término de interacción (por ejemplo,) $V(\phi)\propto \phi^3$. Al probar el LSZ fórmula de reducción, Srednicki argumenta que para que tenga sentido, el campo debe cumplir con las siguientes relaciones:

1. Deje $|\Omega\rangle$ ser exactamente el estado del suelo. Suponiendo que $a(p)|\Omega\rangle=0$, debemos tener $\langle \Omega |\phi(x)|\Omega\rangle=0$. Para ello, vamos a redefinir $\phi\to \phi+\text{const.}$ (cambio de campo).

2. Deje $|p\rangle=a^\dagger(p)|\Omega\rangle$ ser una partícula de estado. Para garantizar una correcta normalización de un estado, debemos tener $\langle p|\phi(x)|\Omega\rangle=\exp(-ikx)$. Al igual que antes, podemos redefinir $\phi\to \text{const.}\ \phi(x)$ (ajustar la escala de campo).

Después de redefinir el campo, nos encontramos con algo parecido a $\phi(x)\to A\phi(x)+B$. Srednicki los estados que la de Lagrange se convierte en algo parecido a $L=Z_1 (\partial \phi)^2+Z_2 m^2 \phi^2+Z_3 g \phi^3+Z_4 \phi$.

Primera pregunta: hemos tenido dos restringe, entonces, ¿cómo podemos acabar con cuatro renormalisation constantes $Z_i,\ i=1,2,3,4$. Es decir, debemos tener $Z_i=Z_i(A,B)$ donde $A,B$ son el ya mencionado "cambio" y "reescalado" constante $\phi(x)\to A\phi(x)+B$. Como hay dos constantes, no debe ser de dos (lineal), las relaciones entre los cuatro $Z_i$. Esto es correcto? Esto es incluso importante en todo? ¿Por qué es que esto nunca se habla?

Segunda pregunta: a continuación vamos a estudiar la dinámica a través de, digamos, un Camino integral. Como de costumbre, se definen

$Z[J]=\int D\phi\ \exp\left[i\int \mathrm d^4 x\ L_0+L_1+J\phi\right]$

donde $L_0$ libre de Lagrange y $L_1$ es "todo lo demás":

$L_0=(\partial \phi)^2+m^2\phi^2$

$L_1=Z_3 g\phi^3+(Z_1-1)(\partial \phi)^2+(Z_2-1)m^2\phi^2+Z_4 \phi$

Tenemos la costumbre $Z_0[J]$ en términos de el propagador, y tratar todo lo demás como las perturbaciones:

$Z[J]\propto \exp\left[i\int \mathrm d^4\ x L_1\left(\frac{\delta}{\delta J(x)}\right)\right] Z_0[J]$

Entiendo la necesidad de tratar el cúbicos y términos lineales como las perturbaciones, pero ¿por qué no tratar el $(Z_1-1)(\partial \phi^2)$ e ($Z_2-1)m^2\phi^2$ lo que se refiere exactamente? Estos términos son cuadrática en los campos, para que puedan ser incluidos en el propagador, simplemente siguiendo los pasos habituales, teniendo en cuenta estas multiplicando constantes.

Sé que normalmente se utiliza el counterterms para "absorber" infinitos, pero esto se siente un poco como hacer trampa: podemos resolver un problema exactamente, pero no lo hacemos porque sabemos que vamos a necesitar pronto algunos grados de libertad para evitar problemas... probablemente Hay algo que no estoy haciendo bien, y yo realmente apreciaría si alguno de ustedes puede conducir mis pensamientos en la dirección correcta.

Por último, no es un tecnicismo que se molesto conmigo un poco justo. El campo es un operador, de manera que cuando se trata con la exponencial en la ruta integral, se debe ser cuidadoso, ya que, en general,$\exp(A+B)\neq\exp(A)\exp(B)$, se debe utilizar Baker–Campbell–Hausdorff en su lugar. Esto significa que, en la ruta integral, debemos no escribir

$\exp\left[i \int\mathrm d^4x\ L\right]=\exp\left[i\int \mathrm d^4\ x L_1\left(\frac{\delta}{\delta J(x)}\right)\right] Z_0[J]$

debido a $\exp[S_0+S_1]\neq\exp[S_0]\exp[S_1]$. De todos modos, ya que tanto $\phi$ y su impulso conmuta con su colector, BCH debería ser bastante fácil de implementar, ya que sólo se necesita la primera corrección de la $\exp(A+B)=\exp(A)\exp(B)\exp(-\frac{1}{2}[A,B])\exp(...)$

Me gustaría pedir disculpas si mi notación es descuidado (obviamente, yo estaría encantado de hacerlo más preciso si se le pide). También, podrían ser algunas de las constantes que faltan (como el $\frac{1}{2}$ factores en el Lagrangiano), pero esto no es realmente importante ahora mismo.

Answer 1

En primer lugar me ocuparé de la última pregunta que usted ha mencionado respecto a la conmutatividad en la ruta integral. Uno de los beneficios de la ruta integral de la formulación es que el integrando se comporta como un ordinario complejo o Grassman número\begin{array}{|c|c|c}\hline . & . & 7\\ . & ? & 5\\\hline 9 & 3 & \end si eres de computación de la traza de un producto de matrices en la notación de Einstein, puede reorganizar los términos en el producto siempre a mantener un registro de índice de contracciones y si los números anticommute. En un sentido, el carácter operador está codificada en la medida de $\mathscr{D}\phi $ en el espacio de los campos (el rango de índices que suma más).

Ahora su segunda pregunta sobre counterterms. La razón cuadrática counterterms no están incluidos en el propagador en última instancia tiene que ver con el proceso de renormalization, que voy a revisar brevemente para mayor claridad. En los libres de la teoría, el propagador coincide con la de dos puntos de la función de correlación. En una interacción de la teoría, podemos mantener el propagador de la 'más cercano' libre de teoría, y los dos puntos de la función de correlación ha perturbativa de correcciones. La pregunta es, ¿qué pequeño parámetro hacer expandirnos en el cómputo de los perturbativa de correcciones? Idealmente, este parámetro será un pequeño adimensional relación de dos diferentes escalas de energía. Sin embargo, estas cantidades físicas no aparecen inmediatamente como parámetros en nuestro modelo ('pelado' constantes de acoplamiento, masas, el campo de la normalización, etc.). Necesitamos relacionar los parámetros del modelo a un pequeño número de medidas y fija las cantidades físicas, en primer lugar, como polo de masas y conocidos de la dispersión de las amplitudes y, a continuación, utilizar la teoría de la perturbación de relacionar el conjunto inicial de las cantidades de referencia para otros `cercanos' las cantidades (como la dispersión de las secciones transversales de la energía escalas comparables a los de referencia de la energía).

Después de relacionar su modelo de parámetros $\mathbf m$ a algunas cantidades de referencia $\mathbf x$ (por ejemplo, fija la dispersión de las amplitudes y polo de masas), usted puede hacer nuevas predicciones $\mathbf x'(\mathbf x)$ una vez que se mida $\mathbf x$ experimentalmente. La relación entre la referencia de amplitud $g_R$ $g$ comienza en orden lineal en $g$: $g_R=g+\mathcal{O}(g^2)$. Después de invertir este orden-por-fin de obtener $g(g_R)$, cualquier nueva física de predicción de $\mathbf x'$ se expresa como una potencia de la serie (o asintótica de la serie) en $g_R$. En particular, el punto dos de la función de correlación será igual a la propagador $\mathcal{O}(g_R)=\mathcal{O}(g)$. Por supuesto, la exacta de 2 puntos en la función de orden superior correcciones que, en general, puede cambiar las ubicaciones de los polos, y por lo tanto las masas, pero el término de orden cero es siempre el propagador, el 2-punto de función de libre teoría. Los términos de $(Z_i-1)$ mantener un seguimiento de las contribuciones que son importantes sólo en el orden de las $g_R$ (equivalente fin de $g$) y superior, y por lo tanto no aparecen en el propagador. [En otras palabras, usted puede pensar de $Z_i$ como poder formal de la serie en $g_R$, con 0 fin de plazo igual a 1, donde la información más importante está en la forma de los coeficientes de la expansión, no en cualquier función que podrían estar asociados con la serie.]

Finalmente, su primera pregunta. Restricción 2 en la normalización de una sola partícula de los estados es sutil, porque usted debe asegurarse de que las masas de las partículas son fijos (su densidad de estados permanece en el mismo ímpetu espacio hyperboloid). La imposición de esta limitación requiere la $Z_2$ parámetro. El $Z_4$ $Z_3$ parámetros están limitados por $\langle\phi\rangle_\Omega=0$, y el parámetro adicional puede ser absorbido por la interacción de la fuerza de $g$. Típicamente $g$ está limitada por la medición de una dispersión de amplitud.