Si $\Omega$ es una región en la que es denso en $\mathbb{C}$, $f\in H(\Omega)$ y es continua en a $\mathbb{C}$ además $f$ está delimitada en $\mathbb{C}$, podemos aducir que el $f$ es una constante?
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lnediger
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La respuesta es no. De hecho, vamos a $K$ ser un lugar denso, compacto subconjunto del plano con Hausdorff dimensión estrictamente mayor que uno (por ejemplo, uno puede tomar algunos Julia que aparecen en la siguiente lista) y deje $\Omega$ ser el complemento de $K$. El hecho de que todos los $f \in H(\Omega)$ continua y acotada en $\mathbb{C}$ es constante es equivalente a decir que el continuo de la capacidad analítica de $K$ es cero (véase mi respuesta a esta pregunta). Sin embargo, como señaló Emil Jeřábek en mi respuesta, cada conjunto compacto $K$ con cero continuo de la capacidad analítica debe tener la dimensión de Hausdorff en la mayoría de las $1$.
EDIT : Como se comentó en el muy buen comentario por user85506, ya que la dimensión de Hausdorff de $K$ es estrictamente mayor que uno, $K$ admite un trivial medida con el crecimiento de la $\mu(B(z,r)) \leq C r^{1+\epsilon}$, por Frostman del Lexema. El crecimiento de $\mu$ implica que la Transformación de Cauchy $$f(z):=\int_{K} \frac{1}{z-\zeta}d\mu(\zeta)$$ es continua en a $\mathbb{C}$ y holomorphic en $\mathbb{C} \setminus K$. Además, $f(z)\rightarrow 0$ $z \rightarrow \infty$ y así, en particular, $f$ está acotada. Sin embargo, $f$ no es constante debido a la $zf(z) \rightarrow \mu(K) \neq 0$.
Esta respuesta es incorrecta.
Se puede considerar la función de $g(x):=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{2^k}}{2^{k^2}}$. Esta función, y muchos ejemplos como éste, va a ser analítico de la unidad de disco, y continua, y aún infinitamente diferenciable muchas veces en el círculo unitario (pero no de la analítica de allí!). Podemos tener un biholomorphism entre la unidad de disco y el plano de menos el no negativo real de la línea. Componer $g$ con este biholomorphism obtenemos una función analítica en todo el plano, menos el de la no-negativo real de la línea, y continua sobre la no-negativo de la línea real.
