La Simple aplicación de Stone-Weierstrass

Question

Yo estaba buscando una aplicación simple de la Piedra-teorema de Weierstrass.

Primero pensé que si $X$ es cualquier compacto de medida de espacio, a continuación, Stone-Weierstrass implica que $C_c(X)$ es denso en $L^p$.

Pero tengo que asumir que $X$ es compacto, de lo contrario no tengo $1$$C_c(X)$. Que por supuesto hace que sea un aburrido ejemplo desde entonces $C_c(X) = C(X)$. Alguien puede mostrarme un poco más interesante, pero todavía simple ejemplo? Gracias.

Answer 1

Este es un ejemplo me enteré recientemente de uno de mis profesores (no sé mucho acerca de la probabilidad, así que no estoy seguro de si esto es un sombrero viejo):

Podemos utilizar Stone-Weierstrass para demostrar la prueba de Kolmogorov extensión del teorema (o una versión de la misma). Es decir, dada una colección de $X = \{\mu_\alpha\}_{\alpha}$ de probabilidad de medidas en $[0,1]$, existe una probabilidad de medida $\mu$ $\prod_{\alpha} [0,1]$ tal que $$\mu(\pi_{\alpha_1}^{-1}(A_1) \cap \dots\cap \pi_{\alpha_n}^{-1}(A_n) ) = \prod_{i=1}^n \mu_{\alpha_i}(A_i)$$ para todos los $\alpha_1, \dots, \alpha_n$ donde $\pi_\alpha: X \to [0,1]$ denota la proyección.

Croquis de la prueba: El conjunto de $Q \subset C(X)$ continuo de los mapas, que depende sólo de "un número finito de componentes", es decir, los $f\in C(X)$ que puede ser escrito en la forma $$f(x) = g(\pi_{\alpha_1}(x), \dots, \pi_{\alpha_n}(x)) \qquad \text{ for some }\alpha_1, \dots, \alpha_n,\, n\in \mathbb N \text{ and } g\in C([0,1]^n)$$ es un unital álgebra que separa a los puntos. Por el teorema de Tychonoff sabemos que $X$ es compacto, por lo $Q$ es denso por Stone-Weierstrass.

Ahora podemos definir un continuo lineal funcional $I: C(X) \to \mathbb R$ como sigue: Dado $f(x) = g(\pi_{\alpha_1}(x), \dots, \pi_{\alpha_n}(x)) \in Q$ como en el anterior, definimos $$I(f) = \int_{[0,1]^n} g(x_1, \dots, x_n) \, dx_1 \dots dx_n$$ A continuación, $I$ está bien definido y es un delimitada lineal funcional en el subespacio denso $Q\subset C(X)$. Por lo tanto puede ser extendida de manera única a un almacén lineal funcional en todos los de $C(X)$.

Finalmente, Riesz' representación teorema compacto Hausdorff espacios demuestra que, para cada una de estas funcional $I$ le corresponde una única medida de Radón $\mu$ tal que $I(f) = \int_X f\, d\mu$.

Hoy día no es difícil mostrar que esta $\mu$ satisface $\mu(\pi_{\alpha_1}^{-1}(A_1) \cap \dots\cap \pi_{\alpha_n}^{-1}(A_n) ) = \prod_{i=1}^n \mu_{\alpha_i}(A_i)$ por la búsqueda de una adecuada secuencia de funciones continuas que se aproxime a la función de indicador de $\pi_{\alpha_1}^{-1}(A_1) \cap \dots\cap \pi_{\alpha_n}^{-1}(A_n) $. $\square$

Yo había visto otras pruebas de esta extensión del teorema (que no me gusta demasiado, porque no podía ver fácilmente lo que está pasando), así que me quedé muy sorprendida cuando me enteré de que el argumento anterior. Me gusta especialmente cómo varios grandes teoremas de repente pop-up y encajan tan bien! =)

Answer 2

Algunos ejemplos:

• si $(K,d)$ es un espacio métrico compacto, a continuación, $C(K)$ dotado con el supremum norma es separable. Para ver esto, tome $\{x_n\}$ una contables subconjunto denso, y considerar el álgebra generada por los mapas $f_{m,n}:=\max\{1/n,d(x,x_m)\}$.
• el conjunto de polinomios trigonométricos es denso en $C[0,2\pi]$ dotado con el supremum de la norma.
• Considere dos compacto métrica espacios $(K_1,d_1)$, $(K_2,d_2)$. El conjunto de mapas de la forma $$f(x,y):=\sum_{k=1}^nf_k(x)g_k(y),$$ $n\in\Bbb N$, $f_k\in C(K_1), g_k\in C(K_2)$, $1\leq k\leq n$, es denso en $C(K_1\times K_2)$.

Answer 3

• Dado que el $C[0,1]$ $\|.\|_{L^2}$- denso en $L^2[0,1]$, Stone-Weierstrass fácilmente implica que el trigonométricas polinomios son así.
• Mira esta pregunta (pero no la respuesta).
• Tome un análisis funcional del libro (por ejemplo, Conway) y buscar en los ejercicios siguientes Stone-Weierstrass.
• Tratar de formular y deducir una declaración similar sobre $C_c(X)$ $X$ no necesariamente compacto. Como te has dado cuenta, no es necesario que contengan $1$, por lo que pensar acerca de cómo modificar esta condición. (Si te quedas atascado, consulte la wikipedia o de nuevo un análisis funcional libro).