Números enteros con un divisor en un intervalo dado

Question

Por favor, tened paciencia, tengo una pregunta de notación.

En la obra de Kevin Ford papel con el título anterior, la siguiente afirmación aparece en el Teorema T1, p. 369:

Si $2 y z x$ entonces $$H(x, y, z) = x\left(1 + O\left(\frac{\log y}{\log z}\right)\right),$$ donde $H(x, y, z)$ es el número de enteros positivos $n x$ con un divisor en $(y,z].$ Ahora bien, como $$H(x,y,z)\leq x-1$$ claramente, es el $O$ notación que debe tomarse con un negativo ¿constante? ¿Esta ecuación dice realmente que $$H(x,y,z) \geq x\left(1-c\frac{\log y}{\log z}\right)$$ para alguna constante universal $c$ ?

Answer 1

La respuesta corta a su pregunta es sí.

Para convencerse, recordemos la definición de Big- $O$ notación. La definición exacta puede variar ligeramente, pero lo más frecuente es escribir $f(x)=O(g(x))$ cuando existan las constantes $x_0$ y $C$ tal que $|f(x)|\leq Cg(x)$ para todos $x\geq x_0$ . A menudo, la condición de que esto se mantenga para $x>x_0$ no importa y sólo está ahí para evitar comportamientos oscilatorios extraños que podrían ocurrir al principio. En la práctica equivale a que se mantenga para todo $x$ Por ello, cada persona utiliza a veces una definición ligeramente diferente.

Así, en nuestro caso $$H(x,y,z)-x=O\left(x\frac{\log y}{\log z}\right)$$ significa que existe $x_0$ y $c$ tal que $$|H(x,y,z)-x|\leq c x\frac{\log y}{\log z}$$ para todos $x\geq x_0$ y como el término dentro de los valores absolutos debe ser negativo, llegamos a $$H(x,y,z)\geq x\left(1- c \frac{\log y}{\log z}\right)$$ para todos $x>x_0$ .

Para abordar si el $x>x_0$ es importante en la definición, tenga en cuenta que en este caso (y en muchos otros) se puede eliminar de la siguiente manera: Para $x<x_0$ , $\frac{\log y}{\log z}\geq \frac{\log 2}{\log x_0}$ y, por lo tanto, tomando $c'=\max\{c,1\}\frac{\log x_0}{\log 2}$ vemos que $$H(x,y,z)\geq x\left(1- c' \frac{\log y}{\log z}\right)$$ es válida para todos los $x$ ya que la desigualdad se cumple trivialmente cuando $x<x_0$ ya que el lado derecho será negativo.