No entiendo por qué en la definición de una topología se exige que la unión de una colección "arbitraria" de subconjuntos abiertos sea abierta y que la intersección de un número "finito" de subconjuntos abiertos sea abierta. Es decir, no entiendo por qué uno de ellos es arbitrario y el otro es finito.
¡¡Gracias!!
Una motivación para la topología en este sentido formal es captar lo que significa que una función sea continua cuando no hay una métrica a la que se pueda aplicar una $\epsilon - \delta$ enfoque. Si pensamos en los conjuntos abiertos en la recta real y en cómo se relacionan con la continuidad según la "definición métrica", nos daremos cuenta de que esto es compatible.
Obsérvese que la intersección de una colección infinita de intervalos en la recta real puede ser un único punto o un intervalo cerrado arbitrario.
La otra razón es que la definición es "lo que funciona", es decir, lo que da resultados matemáticos fructíferos.
Una razón por la que no se quiere permitir intersecciones arbitrarias de conjuntos abiertos es que si se hace se puede hacer lo siguiente:
$$ \bigcap_{n \in \mathbb N} (-1, \frac{1}{n}) = (-1, 0]$$
Y entonces $(-1, 0]$ tendría que ser abierta (por definición). Pero esto entraría en contradicción con la apertura de los conjuntos tal como se definen en un espacio métrico (que $\mathbb R$ es): $0$ no tendría una bola abierta a su alrededor contenida en $(-1,0]$ .
Podemos siempre decimos que una intersección de conjuntos abiertos finitamente numerosos es abierta. Sin embargo, para infinitos conjuntos abiertos, no podemos necesariamente dicen que su intersección está abierta. Hay casos en los que infinitos conjuntos abiertos tienen una intersección abierta. Por ejemplo $I_n=(n,\infty)$ para $n\in\Bbb N,$ para que $\bigcap_{n\in\Bbb N}I_n=\emptyset$ está abierto.
La razón del "finito" en el caso de las intersecciones es simplemente porque hasta ahí podemos demostrar con generalidad. Podemos probar para "arbitrario" en el caso de las uniones.
Así que voy a responder a esta pregunta en dos partes. En primer lugar, responderé a una pregunta implícita en el post original: ¿para qué sirven las definiciones? En segundo lugar, responderé a la pregunta explícita del post original: ¿por qué la definición de una topología implica una unión arbitraria de conjuntos abiertos pero sólo una intersección finita de conjuntos cerrados?
En matemáticas, hacemos definiciones por muchas razones. Quizá la razón más sencilla sea agilizar la comunicación de ideas. Por ejemplo, hay mucho significado detrás de la afirmación "que $X$ sea un espacio de Banach infinito-dimensional separable". Sin embargo, alguien que esté familiarizado con las definiciones de estos objetos comprende rápidamente las propiedades del espacio $X$ . Por otra parte, la descripción formal de estas propiedades sería significativamente más larga y engorrosa de escribir cada vez que nos encontremos con un espacio de este tipo $X$ .
Otra razón por la que hacemos definiciones es para modelar (o abstraer) alguna idea concreta. Por ejemplo, intuitivamente tenemos una noción de distancia, pero puede variar en función de la situación. Algunas funciones de distancia comunes son la distancia en línea recta, o la distancia Manhattan (es decir, la distancia vertical más la horizontal), o la distancia esférica (por ejemplo, la distancia recorrida a lo largo de la superficie de la Tierra). Intuitivamente, todas ellas son funciones de distancia para nosotros y queremos una definición que las englobe a todas (es decir, que todas ellas sean funciones de distancia según la definición que creemos). Ahora bien, la definición de métrica trata de abstraer las ideas de funciones de distancia.
Otra razón por la que elaboramos definiciones es para guiar nuestra intuición. Cuando tenemos muchos ejemplos de objetos que satisfacen una definición dada, éstos sirven como puntos de referencia para nuestra intuición. Cuando vemos que una función concreta satisface los axiomas de una métrica, podemos empezar a hacernos una idea del comportamiento de una función de la que a priori tenemos poca idea.
Una vez expuestas estas razones, recuerda que las definiciones se crean, no nos vienen dadas desde arriba. Es decir, en algún momento, los matemáticos crearon esta definición para satisfacer algunas de las propiedades anteriores (y posiblemente por otras razones). Así, en concreto, la definición de topología se creó para abstraer otra idea. Un espacio topológico puede considerarse como un espacio métrico generalizado o abstraído. En un espacio métrico, tenemos una noción precisa de la distancia entre puntos. Sin embargo, a veces trabajamos en áreas en las que no tenemos una noción precisa de distancia, pero sí de "cercanía". Una topología intenta captar esta idea. Así pues, la definición de topología que tenemos hoy es la que los matemáticos han determinado que mejor se ajustaba a la idea que intentaban abstraer.
Para responder a la pregunta explícita del post original, si intentamos abstraer la idea de un espacio métrico a uno sin función de distancia, entonces tenemos que idear algo en un espacio métrico que no dependa de distancias precisas. En concreto, los conjuntos abiertos captan esta idea. En un espacio métrico, un conjunto $U$ se llama abierta si para cada punto $x\in U$ existe un $\epsilon>0$ tal que $B(x;\epsilon)\subset U$ (donde $B(x;\epsilon)$ es la bola centrada en $x$ de radio $\epsilon$ ). Obsérvese que sólo necesitamos la existencia de tal $\epsilon$ . Por tanto, podemos interpretarlo como que un conjunto $U$ es abierto si para cada $x\in U$ todos los puntos "suficientemente cerca" de $x$ también están en $U$ . Así pues, parece que los conjuntos abiertos son un candidato ideal para describir la proximidad. Sin embargo, la definición de conjuntos abiertos en un espacio métrico utiliza la métrica, por lo que tenemos que intentar encontrar las propiedades que caracterizan a los conjuntos abiertos en un espacio métrico. Y como no queremos necesariamente ninguna otra estructura en nuestro espacio, es natural intentar caracterizar propiedades de los conjuntos abiertos relacionadas específicamente con uniones e intersecciones.
Así pues, nos preguntamos, en un espacio métrico, ¿bajo qué tipos de uniones se cierran los conjuntos abiertos? Es fácil demostrar que la respuesta es uniones arbitrarias. De nuevo, esto tiene sentido con nuestra idea de que los conjuntos abiertos capturan la idea de "cercanía". Para un punto cualquiera de una unión de conjuntos abiertos, $x\in\bigcup_{U\in\mathcal{U}} U$ , $x\in V$ para algunos $V\in\mathcal{U}$ . Entonces, puesto que $V$ es abierto, contiene todos los puntos "suficientemente cercanos" a $x$ . Así, todos los puntos "suficientemente cercanos" a $x$ también están contenidos en la unión. Sin embargo, en un espacio métrico, los conjuntos abiertos (en general) sólo son cerrados bajo intersecciones finitas. El contraejemplo clásico del caso infinito es $\{0\}=\bigcap_{n\in\mathbb{N}}(-\frac{1}{n},\frac{1}{n})$ . Todos los intervalos del lado derecho son abiertos (de hecho, son bolas centradas en cero), pero el lado izquierdo claramente no es abierto. Así pues, las propiedades que satisfacen los conjuntos abiertos en un espacio métrico (que no dependen intrínsecamente de la noción de métrica) son: cerrados bajo uniones arbitrarias e intersecciones finitas. Así pues, ésta es la definición que tomamos para los conjuntos abiertos.
Ahora, el proceso anterior nos da la definición de una topología. Pero ¿cómo sabemos que es la definición "correcta" (por correcta me refiero a la que capta correctamente la esencia de la idea que intentamos abstraer). La única forma de hacerlo es mediante ejemplos. El hecho de que esta definición de topología sea la que ha perdurado demuestra que es la "correcta" en el sentido antes mencionado.
Como ocurre con muchas cosas en matemáticas, es porque los matemáticos han decidido que sea así.
Para una respuesta un poco menos alegre, recordemos que la topología comenzó como un intento de generalizar las nociones relacionadas con la recta real, en particular la noción de función continua. La definición común de primer curso de una función continua (en los reales) es la siguiente:
Una función $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ es continuo si para cada $x \in \mathbb{R}$ y cada $\epsilon > 0$ hay un $\delta > 0$ tal que $| f(x) - f(y) | < \epsilon$ para todos $y \in \mathbb{R}$ avec $| x - y | < \delta$ .
Lo que dice esta definición es que dado cualquier intervalo abierto $I$ centrado en el punto $f(x)$ podemos encontrar un intervalo abierto $J$ centrado en $x$ tal que $f(y) \in I$ para cada $y \in J$ . Nótese la primacía de los intervalos abiertos en la interpretación anterior.
Jugar con esta interpretación nos lleva a dos hechos básicos:
Es un hecho: Si $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ es continua, entonces $f^{-1} [ I ] = \{ x \in \mathbb{R} : f(x) \in I \}$ es una unión de intervalos abiertos (posiblemente una unión vacía) para cualquier intervalo abierto $I \subseteq \mathbb{R}$ .
Corolario: Si $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ es continua, entonces $f^{-1} [ V ]$ es una unión de intervalos abiertos para cualquier $V \subseteq \mathbb{R}$ a su vez una unión de intervalos.
Además, la inversa de ambas afirmaciones también es cierta: Una función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ es continua si $f^{-1} [ V ]$ es una unión de intervalos para cada $V \subseteq \mathbb{R}$ a su vez una unión de intervalos abiertos.
Así, partiendo de las nociones básicas del análisis real, vemos que las uniones arbitrarias de intervalos abiertos tienen cierta importancia.
¿Por qué limitar las intersecciones a un número finito? Se me ocurren dos razones:
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