$\lim_{n \to \infty} \mid a_n + 3(\frac{n-2}{n})^n \mid^{\frac1n} = \frac35$ . Entonces encuentra $\lim_{n \to \infty} a_n$ .

Question

Dejemos que $\{a_n\}$ sea una secuencia de números reales tal que $$\lim_{n \to \infty} \mid a_n + 3(\frac{n-2}{n})^n \mid^{\frac1n} = \frac35$$

Entonces encuentra $\lim_{n \to \infty} a_n$ .

Lo he intentado con todas mis fuerzas, pero no he sido capaz de descifrarlo. Se necesita ayuda.

¿Alguien puede hacer la suma?

Answer 1

Dejemos que $b_n$ sea la secuencia dada $b_n=a_n+3\left(1-\frac2n\right)^n$ . Por lo tanto, si $\lim_{n\to \infty}|b_n|^{1/n}=3/5$ , entonces para cada $\epsilon>0$ existe un número $N$ tal que para todo $n>N$

$$\left(\frac35-\epsilon\right)<|b_n|^{1/n}<\left(\frac35+\epsilon\right) \tag 1$$

Para $0<\epsilon<2/5$ las desigualdades en $(1)$ equivalen a

$$\left(\frac35-\epsilon\right)^n<|b_n|<\left(\frac35+\epsilon\right)^n \tag 2$$

Dejar $n\to \infty$ el teorema del apretón garantiza que

$$\lim_{n\to \infty}|b_n|=0\implies \lim_{n\to \infty}b_n=0\tag3$$

En la medida en que $b_n=a_n+3\left(1-\frac2n\right)^n$ vemos desde $(3)$ que

$$\lim_{n\to\infty}a_n=-\lim_{n\to \infty}3\left(1-\frac2n\right)^n=-3/e^2$$

¡Y ya está!