¿Cómo puedo probar que $\int_0^1 x^x \mathrm{d}x$ entre $0.69$$1$? Creo que no existe una función tal que su derivada es $x^x$. Es la prueba aproximado? Numéricamente, esto es cierto. Pero algebraicamente/teóricamente no tengo ni idea de cómo por dónde empezar.
Respuestas
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hurrymaplelad
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En primer lugar, vemos que tiene que ser menos de $1$, ya que la función $f(x)=x^x$ en el intervalo de $[0,1]$ es siempre menor o igual a $1$, por lo que no puede exceder el área de $[0,1]^2=1$.
Vemos, entonces, que $\frac{d}{dx}f(x)=x^x(\ln(x)+1)$, lo $f$ tiene un mínimo en $[0,1]$ a alrededor de $(0.36,0.69)$, lo $f(x)$ siempre está por encima de la línea de $y=0.69$, completando la prueba.
Esta imagen puede ayudar a dar algo de intuición. Es una parcela de $x^x$$0$$1$. Nota los mínimos en torno $0.69$.
TorsionSquid
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Roger Hoover
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Desde $$ x^x = \exp\left(x\log x\right) = 1+x\log x+\frac{\left(x \log x\right)^2}{2!}+\ldots $$ por termwise integración, nos hemos $$ \int_{0}^{1}x^x\,dx = 1-\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^3}-\frac{1}{4^4}+\ldots $$ y desde que la serie en el lado derecho es rápidamente convergente por Leibniz' de la prueba, $$ \int_{0}^{1}x^x\,dx \in\left(\frac{3}{4},\frac{85}{108}\right).$$
