Cómo integrar la $\int{e^{\tan^2{x}}\sin(4x)}dx$

Question

La pregunta lo dice todo. ¿Cómo puedo incluso ir sobre la integración de esta integral. Yo te agradecería un poco de ayuda. Gracias de antemano. $$\int{e^{\tan^2{x}}\sin(4x)}dx$$

Answer 1

Vamos a suponer que la respuesta es dada por una función de la forma: $$I(x) = \exp(\tan^2 x) f(x)$$ Entonces: $$\frac{dI}{dx} = \exp(\tan^2 x) \left(2 f(x) \sec^2 x \tan x + f'(x)\right)$$ Ahora tenemos que resolver la ODA: $$2 f(x) \sec^2 x \tan x + f'(x) = \sin(4x)$$ Usted podría utilizar una Serie de Fourier método para encontrar la solución: $$f(x)=-(4 \cos(2 x)+\cos(4 x)+3)/4=-2\cos^4x$$

Answer 2

He aquí otro método. Primero de todo, hay que multiplicar el numerador y el denominador por la derivada de la $\tan^2{x}$ que sale algo como esto $$\int{\frac{\sin{4x}\cdot e^{\tan^2{x}}\cdot 2\tan{x}\sec^2{x}}{2\tan{x}\sec^2{x}}dx}$$ Entonces, la simplificación de la $\sin{4x}$ en el numerador y el $2\tan{x}\sec^2{x}$ en el denominador usando identidades trigonométricas, obtenemos algo como esto $$\int{2\cos^4{x}\cdot (2\cos^2{x}-1)\cot e^{\tan^2{x}}\cdot 2\tan{x}\sec^2{x}}dx$$ Entonces, sustituyendo $t$ $\tan^2{x}$ y, por tanto,$\frac{1}{1+t}$$\cos^2{x}$, consigue $$-2\int{\frac{e^t}{(1+t)^2}-\frac{2e^t}{(1+t)^3}}dt$$ que es fácilmente evaluados y viene a ser $$\frac{-2e^t}{(1+t)^2}+C$$ La sustitución de la espalda $\tan^2{x}$$\cos^2{x}$, obtenemos $$-2\cos^4{x}\cdot e^{\tan^2{x}}+C$$