La solución de la suma de exponenciales

Question

Deje $x\in\mathbb{R}$, ¿cómo puede $-e^{-x}+e^{x}=a$ ser resuelto? Ya he probado a utilizar la suma de exponenciales de la fórmula.

Answer 1

Bueno, creo que esto va a funcionar: si $x \in \Bbb R$ satisface

$-e^{-x} + e^x = a, \tag{1}$

entonces podemos multiplicar a través de por $e^x$ obtener

$-1 + e^{2x} = ae^x, \tag{2}$

y si establecemos $y = e^x$,$y^2 = e^{2x}$, por lo que (2) se convierte en

$-1 + y^2 = ay, \tag{3}$

o

$y^2 - ay -1 = 0. \tag{4}$.

Podemos resolver (4) a través de la fórmula cuadrática:

$y = \dfrac{1}{2}(a \pm \sqrt{a^2 + 4}), \tag{5}$

y ver que no sólo es el discriminante $a^2 + 4 > 0$, pero además de la $\vert a^2 + 4 \vert > \vert a \vert^2$, lo que muestra que exactamente una raíz de (4) es positivo, siempre, que a raíz de ser

$y = \dfrac{1}{2}(a+ \sqrt{a^2 + 4}). \tag{6}$

Establecimiento $x = \ln y$ $y$ dada por (6) hace el truco, como pueden ser fácilmente controlados por algunos algebraicas sencillas maniobras.

Espero que esto ayude. ¡Hasta la vista,

y como siempre,

Fiat Lux!!!