Encuentra todos los enteros positivos $n$ tal que $\phi(4n) = 2\phi(n)$ .

Question

Encuentra todos los enteros positivos $n$ tal que $\phi(4n) = 2\phi(n)$ .

Sé que cuando $n$ es impar tienes que

$\phi(4n) = \phi(4)\phi(n) = \phi(2^ 2 )\phi(n) = 2\phi(n)$

No estoy seguro de cómo mostrarlo para si $n$ es incluso demostrar que no tiene solución si $n$ es par. n

Answer 1

Sugerencia: si $n$ es par, entonces podemos escribirlo como $2^a \cdot b$ , donde $b$ es impar. Ahora puedes calcular ambos $\phi(n)$ y $\phi(4n)$ en términos de $\phi(b)$ .

Answer 2

Puede utilizar la fórmula $\phi(n)$ = $n(1-\frac{1}{p_1}) \cdots (1-\frac{1}{p_k})$ donde $n = p_1^{\alpha_1} \cdots p_k^{\alpha_k}$ . Ahora bien, tenga en cuenta que si $n$ es incluso entonces $4n$ y $n$ tiene el mismo conjunto de divisores primos. Por lo tanto, $\phi(4n)$ = $4n(1-\frac{1}{p_1}) \cdots (1-\frac{1}{p_k}) = 4 \phi(n)$ . Así que no hay solución.