Condición necesaria y suficiente para que el $\lceil \sqrt { \lfloor x \rfloor } \rceil = \lceil \sqrt { x } \rceil$

Question

Estoy perplejo en el siguiente párrafo, que viene de Hormigón Matemáticas, Capítulo 3, Sección 2, Página 73:

¿Qué es una condición necesaria y suficiente para que el $\lceil \sqrt { \lfloor x \rfloor } \rceil = \lceil \sqrt { x } \rceil$? Hemos observado que la igualdad tiene al$x = 3.142$, pero no al $x = 1.618$; más de la experimentación muestra que se produce también cuando se $x$ entre $9$$10$. Oho. Sí. Vemos que el mal de los casos ocurren cuando $m^2 \lt x \lt m^2 + 1$, ya que esto le da $m$ a la izquierda y $m + 1$ a la derecha. En todos los demás casos donde $\sqrt { x }$ está definido, es decir, cuando se $x = 0$ o $m^2 + 1 \le x \le (m + 1)^2$, obtenemos la igualdad. La siguiente declaración es, por tanto, necesaria y suficiente para la igualdad: $x$ es un número entero o $\sqrt { \lfloor x \rfloor }$ no lo es.

A partir de la frase en negrita, no puedo seguir. El libro dice que cuando $m^2 \lt x \lt m^2 + 1$, la ecuación no se sostiene. Pero, ¿cómo los autores llegan a esta conclusión, por un razonamiento en lugar de simplemente mediante la observación de algunos casos particulares? Y ¿cómo puedo derivar la conclusión final (La condición necesaria y suficiente es que cualquiera de las $x$ es un número entero o $\sqrt { \lfloor x \rfloor }$ no lo sea). a partir de ella?

Answer 1

El libro dice que cuando $m^2 \lt x \lt m^2 + 1$, la ecuación no se sostiene. Pero, ¿cómo los autores llegan a esta conclusión, por un razonamiento en lugar de simplemente mediante la observación de algunos casos particulares?

Para $m^2 \lt x \lt m^2 + 1$ donde $m$ es un entero no negativo, ya que $m\lt \sqrt x\lt\sqrt{m^2+1}\le m+1$ tenemos $$\left\lceil\sqrt{\lfloor x\rfloor}\right\rceil=m\lt m+1=\lceil\sqrt x\rceil$$ de modo que la igualdad no se cumple.

Y ¿cómo puedo derivar la conclusión final (La condición necesaria y suficiente es que cualquiera de las $x$ es un número entero o $\sqrt { \lfloor x \rfloor }$ no lo sea). a partir de ella?

Podemos suponer que $m^2\le x\lt (m+1)^2$ separándolo en tres casos :

Caso 1 : $x$ es un número entero. Se ve fácilmente que la igualdad se mantiene.

Caso 2 : $m^2\lt x\lt m^2+1$. Ya hemos visto que la igualdad no se cumple.

Caso 3 : $m^2+1\le x\lt (m+1)^2$ pero $x$ no es un número entero

No hay ningún número entero $n$ tal que $m^2+1\le n^2\lt (m+1)^2$, por lo que en este caso, $\sqrt{\lfloor x\rfloor}$ no es un número entero.

Así, obtenemos $$m\lt \sqrt{m^2+1}\le \sqrt{\lfloor x\rfloor }\le \sqrt{(m+1)^2-1}\lt m+1\implies \left\lceil\sqrt{\lfloor x\rfloor }\right\rceil=m+1=\lceil\sqrt{x}\rceil$$ Así, en este caso, la igualdad se mantiene.

Por lo tanto, la condición necesaria y suficiente es que cualquiera de las $x$ es un número entero o $\sqrt{\lfloor x\rfloor}$ no lo es.