Convergencia de $a_0 \cdot a_1 \cdot ... \cdot a_n$

Question

Dejemos que $(a_n)_{n \geq 0}$ sea una secuencia con $a_0,a_1 \in (0,1)$ y $$a_{n+1}=a_n^2a_{n-1}-a_na_{n-1}+1$$ Encuentre $$\lim_{n \to \infty} (a_0 \cdot a_1 \cdot ... \cdot a_n)$$

He conseguido demostrar que $a_n \in (0,1)$ y que la secuencia es creciente y convergente a $1$ . Entonces denote $b_n=a_0 \cdot a_1 \cdot ... \cdot a_n$ y como es estrictamente decreciente y acotado, debe ser convergente a un número $l$ .

Utilizando la relación dada he obtenido $$b_{n+1}=\frac{b_n^3}{b_{n-1}b_{n-2}}-\frac{b_n^2}{b_{n-2}}+b_n \iff b_{n+1}-b_n=\frac{b_n^2}{b_{n-1}b_{n-2}}(b_n-b_{n-1})$$ y por lo tanto, obtuvo $$b_{n+1}-b_n=\frac{b_n^2 \cdot b_{n-1}}{b_1\cdot b_0}(b_2-b_1)$$ Aplicando los límites se obtiene $0=\frac{l^3(b_2-b_1)}{b_1b_0}$ Por lo tanto $l=0$ .

Mi pregunta es si este problema podría haberse hecho de otra manera, tal vez sin la notación de $b_n$ . Al principio intenté escribir $$a_0\cdot a_1 \cdot ... \cdot a_n <a_n^{n+1}$$ y luego $\lim_{n \to \infty}a_n^{n+1}=e^{\lim_{n \to \infty} (a_n-1)(n+1)}$ y trató de demostrar que $$\lim_{n \to \infty}n(a_n-1)=-\infty$$ usando Cesaro-Stolz, pero no consiguió nada...

Answer 1

$$a_{n+1}=a_n^2a_{n-1}-a_na_{n-1}+1\Longleftrightarrow\frac{1-a_{n+1}}{1-a_n}=a_na_{n-1}$$

Por producto telescópico tenemos, $$\frac{a_{n+1}-1}{a_1-1}= \prod_{k=1}^{n}\frac{1-a_{k+1}}{1-a_k}=\prod_{k=1}^{n}(a_ka_{k-1}) = \prod_{k=1}^{n}a_k\prod_{k=1}^{n}a_{k-1} = a_0\prod_{k=0}^{n}a_k\prod_{k=0}^{n-1}a_{k} $$

Tomando el límite en ambos lados dar,

$$\lim_{n\to \infty} (1-a_n) = a_0(1-a_1)\left(\prod_{k=0}^{\infty}a_k\right)^2$$ Así, $$\prod_{k=0}^{\infty}a_k = \sqrt{\frac{\lim\limits_{n\to \infty} (1-a_n)}{a_0(1-a_1)}}=0$$ ya que has demostrado que $$\lim\limits_{n\to \infty} a_n=1$$