Las condiciones de contorno / singularidad de los propagadores / funciones de Green

Question

Mi pregunta(s) se refieren a la interpretación y la singularidad de los propagadores / funciones de Green para la clásica y cuántica de campos.

Es bien sabido que la función de Green para la ecuación de Laplace $$ \Delta_x G(x,x') = \delta^{(3)}(x-x') $$ con las condiciones de contorno $$ G(x,x') = 0 \text{ for } x\in\partial D, x'\in D$$ se determina de forma única. Esto es debido a que los armónicos de la función que se desvanece en el límite de dominio debe desaparecer dentro.

En contraste, estoy confundido acerca de la unicidad de la función de Green para la ecuación de onda $$ (∂_t^2 - \Delta)G(x,t;x',t') = \delta^{(3)}(x-x')\delta(t-t') $$ Sin especificar las condiciones de contorno, existen muchos homogenuous soluciones a la ecuación de onda y por lo tanto muchas diferentes funciones de Green.

Los físicos suelen ofrecer mí varias canónica de decisiones, como los retrasados mentales, los avanzados y también el propagador de Feynman, pero no entiendo lo que hace cada opción única en comparación con los demás, o que las condiciones de contorno corresponde a una elección. Por lo tanto, mi pregunta es

Que las condiciones de contorno se corresponden con retraso, el avanzado y el propagador de Feynman? ¿Qué otras posibilidades para las condiciones de contorno y propagadores hay?

Yo también estoy confundido por la situación en la teoría cuántica de campos, donde tenemos varios convenios para fines de propagación y el tiempo de ordenar como $$ \langle0|T_t\lbrace a(x,t)a^\dagger(x',t')\rbrace |0\rangle $$ Al parecer, el estado del suelo es muy importante para la selección de la derecha de la función de Green (ver también mi pregunta anterior), pero todavía no entiendo por qué.

¿Cómo funciona el vacío del estado de actuar como una condición de contorno en el espíritu de la pregunta anterior?

También está la cuestión de tiempo imaginario. El punto es que el tiempo imaginario se convierte la ecuación de onda $(\partial_t^2 -\Delta)\phi=0$ en el Laplaciano $(\partial_\tau^2 + \Delta)\phi = 0$, pero no entiendo cómo la costumbre continuación analítica $\tau \to it \pm i\eta$ por diversos propagadores depende de las condiciones de frontera. Por ejemplo, Tsvelik escribe en la ecuación (22.4) que el tiempo imaginario de la función de Green para el Laplaciano en 2D es "obviamente" el que se desvanece al $\tau$ $x$ ir hasta el infinito, pero no entiendo el razonamiento detrás de esta elección.

¿Qué son las adecuadas condiciones de contorno para las funciones de Green en el tiempo imaginario? Es claro que la ruta de acceso integral formalismo selecciona la derecha?

Answer 1

Retraso propagadores son aquellos con $G(\dots, t,t')=0$ todos los $t<t'$. Son de fuga antes de $t=t'$, el delta-función "estimula" el campo en $t=t'$, y el de la función de Green para la positiva $t-t'$ mide la respuesta del campo. Uno puede ver esta descripción como una construcción de la función de Green que también demuestra que es único.

Avanzado propagadores son la inversión de tiempo de los retrasados mentales, con el signo de $t-t'$ intercambiados en la descripción de arriba. (Compruebe de nuevo si no he permutan los dos propagadores por un error: cuidado de la señal de errores). Feynman propagadores son las medias aritméticas de los correspondientes retardado y avanzados.

El (no térmica) funciones de Green se definen como funciones de correlación en el vacío. Esto es útil porque el estado es el más sencillo de estado y todos los otros multiparticle los estados pueden ser construida desde el estado fundamental mediante la adición de combinaciones lineales de los campos (marque la LSZ fórmula etc.). Por esta razón, la estructura del vacío, incluyendo todas las correlaciones en el que "sabe" acerca de todas las dinámicas de preguntas.

En la teoría del campo, la expectativa de valores en el vacío son reemplazados por ${\rm Tr}(\rho \dots)$ donde $\rho=\exp(-\beta H)$ es la térmica, la densidad de la matriz.

Este último punto también aclara por qué el vacío statet actúa como una "condición de frontera": la $T=0$ (no térmica) correlators puede ser calculada para $t=\infty (1+i\epsilon)$ que tiene una infinita parte real, pero una relativamente pequeña parte imaginaria, demasiado. Por analiticidad, el pequeño imaginario "ángulo" no cambia la función de Green mucho. Sin embargo, se simplifica el cálculo debido a la evolución operador contendrá un factor adicional de $\exp(-\epsilon \infty H)$ que es suficiente para exponencialmente suprimir todos los estados excitados relativamente al estado fundamental. Al $\infty$ es realmente enviada hasta el infinito, sólo los elementos de la matriz evaluada relativamente a la tierra del estado de sobrevivir. Los mismos comentarios y las opciones se aplican para el futuro infinito. Por esta razón, el vacío de elementos de la matriz son automáticamente seleccionados de la más simple de las condiciones de contorno uno puede asumir en $t=\pm\infty$.

El pequeño pero distinto de cero el valor de $\epsilon$ se traduce a la $i\epsilon$ en su propagador: un procedimiento como este también muestra por qué Feynman los propagadores son los correctos para su uso en los diagramas de Feynman.