$p$ -y subgrupo del anillo de números enteros

Question

Trabajar en $\mathbb{Q}_p$ con $p\ge 3$ primo. Quiero demostrar que el cierre del grupo cíclico $(\langle 1+p \rangle,\cdot)$ en el $p$ -La topología de la red es $(1+p\mathbb{Z}_p,\cdot)$ , donde $\mathbb{Z}_p$ es el anillo de los enteros.

Ya he demostrado que ambas estructuras son grupos y que la primera es un subconjunto de la segunda, así que necesito demostrar la densidad de una dentro de la otra. He intentado jugar con la expresión explícita de la serie de potencias de los elementos de $1+\mathbb{Z}_p$ pero eso no me llevó a ninguna parte. ¿Alguna pista?

Answer 1

Una pista: Utilizando el mapa de logaritmos, para $p\ge3$ , $$(1 + p\mathbb Z_p, \cdot) \cong (p\mathbb Z_p, +)$$

¿Puede demostrar que la imagen de $(\langle 1+p\rangle, \cdot)$ bajo este mapa es $(m\mathbb Z,+)$ para algunos $m\in\mathbb Z_p$ con $|m|=|p|$ donde $m=\log(1+p)$ ?