De Hopf-Rinow Teorema de Riemann Colectores con el Límite de

Question

Estoy un poco oxidado en mi geometría de Riemann. En el abordaje de un problema del PDE me encontré con una situación que no puedo conciliar con la de Hopf-Rinow Teorema. Si $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ es un delimitada, conjunto abierto con suave límite, a continuación, $\mathbb{R}^n - \Omega$ es una de Riemann colector con suave límite. Desde $\mathbb{R}^n - \Omega$ es cerrado en $\mathbb{R}^n$, se deduce que el $\mathbb{R}^n - \Omega$ es un espacio métrico completo. Sin embargo, el de Hopf-Rinow Teorema parece indicar que $\mathbb{R}^n - \Omega$ (dotado con la habitual métrica Euclidiana) no es un espacio métrico completo, ya que no todos geodesics $\gamma$ están definidos para todos los tiempos. Me estoy perdiendo algo aquí? Hacer la hipótesis de Hopf-Rinow teorema tiene que ser modificado para dar cabida a colectores con el límite?

Answer 1

De Hopf-Rinow preocupaciones, de hecho, Riemann colectores con ningún límite.