Encontrar todos los números primos que cumplan las siguientes condiciones

Question

Hubo un rompecabezas en la Revista de Ciencias de la Universidad de Hong Kong, que es como sigue:

Encontrar todos los números primos $p$ tal que $\sqrt{\frac{p+7}{9p-1}}$ es racional.

He intentado un par de números y parece sugerir que $11$ es un candidato adecuado.

Puedo saber las técnicas para abordar esta pregunta?

Gracias.

Answer 1

El hecho de que $p$ es primo es algo de un arenque rojo.

Supongamos que $$\sqrt{\frac{x+7}{9x-1}}$$ es racional para algún entero positivo $x$.

Luego de algunos enteros positivos $k$, $a$, y $b$, tenemos las ecuaciones $$x+7=ka^2$$ y $$9x-1=kb^2$$

Multiplicando la primera ecuación por $9$ y restando la segunda ecuación de ella, obtenemos $$64=k(9a^2-b^2)=k(3a-b)(3a+b)$$

Ahora, cada uno de $k$, $3a-b$, y $3a+b$ es un factor positivo de $64$. Como un recordatorio, $64$ tiene siete factores positivos: $1$, $2$, $4$, $8$, $16$, $32$, y $64$.

Tenga en cuenta que los términos de $3a-b$ $3a+b$ agregar a ser $6a$, por lo que la suma de estos términos debe ser divisible por $6$. Utilizando este criterio, se puede reducir rápidamente los posibles pares de $(3a-b,3a+b)$ a $(2,4)$, $(2,16)$, $(2,64)$, $(4,8)$, $(4,32)$, $(8,16)$, $(8,64)$, y $(16,32)$. Sin embargo, los productos de estos pares es mayor que $64$ en todos los casos, excepto $(2,4)$, $(2,16)$, y $(4,8)$.

Ahora, la solución de las ecuaciones resultantes para $k$, $a$, y $b$, obtenemos las soluciones posibles a $(k,a,b)$ $(8,1,1)$, $(2,3,7)$, y $(2,2,2)$. Estos, a continuación, corresponden a las soluciones de $x$ (utilizamos aquí se $x=ka^2-7$) - que nos da $x=8-7=1$, $x=18-7=11$, y $x=8-7=1$. Por lo tanto los únicos enteros positivos que hacer $$\sqrt{\frac{x+7}{9x-1}}$$ racional se $1$$11$.

Por último, ya que se nos pide para todos los prime soluciones, tenemos la única solución como $p=11$.

Answer 2

Deje que el número racional se $a/b$ en términos mínimos. Reorganizar la expresión de a $$p=\frac{a^2+7b^2}{9a^2-b^2}$$
Deje $q$ ser un factor primo de ambos, numerador y denominador. Cualquiera de las $3a+b$ o $3a-b$ es un múltiplo de a $q$, lo $b=\pm3a+nq$ para un número entero $n$. A continuación, $a^2+7b^2=a^2+7(9a^2+mq)$ para otro número entero $m$, lo $q$ es factor de $64a^2$.
Si $q$ es un factor de $a$, y es un factor de $3a+b$ o $3a-b$, entonces es un factor de $b$. Que es una contradicción ya que el $a/b$ es en términos mínimos, por lo $q$ es un factor de 64.
$q$ , fue el primer, por lo $q=2$, y el denominador es una potencia de 2.
$3a+b$ $3a-b$ son ambos poderes de $2$, lo $a=(2.4^k+1)/3,b=2.4^k-1$. El denominador es $8.4^k$
Nueve veces el numerador es $$(2.4^k+1)^2+63(2.4^k-1)^2\\=256.4^{2k}-248.4^k+64=8.4^k(32.4^k-31)+64$$ This is a multiple of $8.4^k$, so $64$ is a multiple of $8.4^k$ and $k=0$ or $k=1$.