Dado $f$ es absolutamente integrable en $[1, \infty)$, demuestran que, a $\lim_{n \to \infty} \int_1^\infty f(x^n) dx = 0$

Question

Sabemos que $\int_1^\infty |f| dx < \infty $.

Creo que también sabemos que $\lim_{x \to \infty} f(x) = 0$.

No estoy seguro de cómo proceder en el futuro, pero estoy adivinando esto implica un poco de aplicación de Dirichlet de la Prueba y de la integración por partes?

Answer 1

$\displaystyle\int_{1}^{\infty}|f(x^{n})|dx=\dfrac{1}{n}\int_{1}^{\infty}\dfrac{1}{u^{(n-1)/n}}|f(u)|du\leq\dfrac{1}{n}\int_{1}^{\infty}|f(u)|du$.