Documentos acreditativos de la identidad del trabajador.

Question

Demostrar la combinatoria de identidad $${n \choose k} = {n-2\choose k-2} + 2{n-2\choose k-1} + {n-2\choose k} .$$

Entiendo el lado izquierdo, que es obvio, pero yo estoy luchando para llegar a cualquier lugar en el lado derecho. Yo también agradecería sugerencias sobre cómo abordar este tipo de problemas. Me dijeron que para uso de los comités y dividir, pero incluso entonces no es tan intuitivo para mí.

He intentado sustituir los números pequeños para ver donde puedo ir.

Gracias de antemano por tu tiempo.

Answer 1

Sugerencia: trate de escribir el lado derecho como $$\left[\binom{n-2}{k}+\binom{n-2}{k-1}\right]+\left[\binom{n-2}{k-1}+\binom{n-2}{k-2}\right]$$

Answer 2

El comité truco funciona bastante bien. Digamos que usted quiere elegir un comité de $k$ de personas de la $n$. Entre los $n$ personas hay dos líderes (usted y yo). Los términos en el lado derecho son el número de posibilidades: con ambos líderes, con un líder, y sin líderes.

Answer 3

Supongamos que desea crear un comité de $k$ de las personas de un grupo de $n$. Sabemos que podemos hacerlo en $\binom n k$ maneras.

Pero supongamos que dos de las personas son algo distinguido; llamémoslas a y B. por Lo que queremos contar los casos, se basan en que estos chicos están en el comité o no por separado:

• Podemos tener $\binom{n-2}{k-2}$ comités con ambos a y B.
• Podemos tener $\binom{n-2}{k-1}$ comités con y sin B.
• Podemos tener $\binom{n-2}{k-1}$ comités de sin a y con B.
• Podemos tener $\binom{n-2}{k}$ comisiones sin Una y sin la B.

La suma de estos casos es igual a $\binom n k$.

Answer 4

Usted también podría demostrar esta igualdad sin ningún tipo de cálculo por interpretar el significado de $n \choose k$: es el número de subconjuntos de tamaño $k$ (o $k$-subconjunto) en un conjunto $S$ del tamaño de la $n$. Nos deja seleccionar dos elementos distintos $a$ $b$ $S$ y deje $T = S-\{a,b\}$. El $k$-subconjuntos de a $S$ pueden ser divididos en cuatro categorías:

1. el $k$-subconjuntos de $T$: ${n-2}\choose k$ posibilidades,
2. el $k$-subconjuntos de la forma $R \cup \{a\}$ donde $R$ $(k-1)$- subconjunto de $T$: ${n-2}\choose {k-1}$ posibilidades,
3. el $k$-subconjuntos de la forma $R \cup \{b\}$ donde $R$ $(k-1)$- subconjunto de $T$: ${n-2}\choose {k-1}$ posibilidades
4. el $k$-subconjuntos de la forma $R \cup \{a, b\}$ donde $R$ $(k-2)$- subconjunto de $T$: ${n-2}\choose {k-2}$ posibilidades.

Resumiendo, se obtiene $$ {n \elegir k} = {{n-2}\, seleccione {k}} + {{n-2}\, seleccione {k-1}} + {{n-2}\, seleccione {k-1}} + {{n-2}\, seleccione {k-2}} = {{n-2}\, seleccione {k}} + 2{{n-2}\, seleccione {k-1}} + {{n-2}\elegir {k-2}} $$

Answer 5

Sugerencia de Uso de la norma y de aspecto similar a Pascal de la Identidad: $${n \choose k} = {{n - 1} \choose k} + {{n - 1} \choose {k - 1}} .$$

Sugerencia adicional de Aplicar la identidad de ambos términos en la r.h.s. de la propia identidad.