$\{x_n\} \to x$ fib $\bigcap_{n=1}^\infty K_n = \{x\}$

Question

Deje $\{x_n\}$ ser una secuencia en $\mathbb{R}^k$ y deje $K_n$ ser la intersección de todos los conjuntos convexos cerrados que contengan $x_m$ todos los $m \ge n$. ¿Cómo puedo demostrar que $\{x_n\}$ converge a $x$ si y sólo $\bigcap_{n=1}^\infty K_n = \{x\}$?

Answer 1

En primer lugar, demostrar que si $\{x_n\}$ converge a$x$,$\bigcap_{n=1}^\infty K_n = \{x\}$. Para $\epsilon > 0$, vamos a $N$ ser lo suficientemente grande tal que $n > N$ implica $|x_n - x| < \epsilon$. A continuación, para todos los $n > N$, tenemos que el conjunto de $T_\epsilon = \{(y_1, \dots, y_n) \text{ }|\text{ }|x_i - y_i| \le \epsilon \text{ }\forall i\}$ es claramente un cerrado conjunto convexo que contiene a $x_n$ todos los $n > N$. Se deduce entonces, que $$\bigcap_{n=1}^\infty K_n \subset \bigcap_{\epsilon \in \mathbb{R}^+} T_\epsilon = \{x\}.$$We also note that since $x_n \a x$, and $K_n$ contains $x_m$ for $m \ge n$, $K_n$ has a sequence converging to $x$, so $x \in K_n$ for all $$ n, y el resultado de la siguiente manera.

Demostramos ahora si $\bigcap_{n=1}^\infty K_n = \{x\}$,$\{x_n\} \to x$. Tomamos nota de que, por cualquier $\epsilon > 0$ la esfera de $S_\epsilon(x) := \{y \text{ }|\text{ }d(x, y) = \epsilon\}$ está cubierto por un número finito de conjuntos de $K_n^c$, y desde $K_{n+1} \subset K_n$, $K_{n+1}^c \supset K_n^c$, vemos que, de hecho, $S_\epsilon(x)$ está contenido en $K_n^c$ algunos $n$. Fijar un $n$, y a partir de ahora asume $m > n$. $S_\epsilon(x) \subset K_m^c$. Por lo tanto $K_m$ es cubierto por dos abiertos disjuntos conjuntos, a saber,$\{y \text{ }|\text{ }|x - y| < \epsilon\}$$\{y\text{ }|\text{ }|x-y| > \epsilon\}$. Desde $K_m$ es convexa, $K_m$ está conectado, no se cruzan ambos de estos bloques abiertos. Desde $x \in K_m$, llegamos a la conclusión de $K_m \subset N_\epsilon(x)$$m > n$, de donde $|x_m - x| < \epsilon$$m > n$, y el resultado de la siguiente manera.

Answer 2

Deje ${\cal H_x}$ el conjunto de cerrado halfspaces que contengan $x$ en su interior. Hahn de Banach muestra $\cap_{H \in {\cal H_x}} = \{x\}$. Supongamos $x_n \to x$, y seleccione $H \in {\cal H_x}$. A continuación, hay algunos $N$ tal que $x_n \in H$ todos los $n \ge N$, por lo que tenemos $K_n \subset H$ todos los $n \ge N$. En consecuencia, $\cap_n K_n \subset H$. Por lo tanto, tenemos $\cap_n K_n \subset \cap_{H \in {\cal H_x}} = \{x\}$. Puesto que el $K_n$ están cerrados tenemos $x \in K_n$ todos los $n$, por lo tanto $\{x\} \subset K_n$, de la cual se ha $\cap_n K_n = \{x\}$.

Tenga en cuenta que si tenemos puntos de $y_n \in K_n$ $y_n$ tiene algún punto de acumulación $y$, entonces tenemos que tener en $y \in K_n$ desde el $K_n$ están cerrados y anidados, y, por tanto,$y \in \cap_n K_n$.

Ahora supongamos $\cap_n K_n = \{x\}$. Deje $\epsilon>0$ y deje $C= \bar{B}(x,\epsilon)$. Entonces yo reclamo que $K_n \subset C$ algunos $n$. Si no, a continuación, elija $c_n \in C \setminus K_n$. Por convexidad, $y_n = x+ {1 \over \|c_n-x\|} (c_n-x) \in K_n$ (tenga en cuenta que $\|c_n-x\| >1$) y $\|y_n-x\|=1$. Por lo tanto $y_n$ tiene un punto de acumulación $y$, y tenemos $y \in \cap_n K_n$. Desde $\|y-x\| =1$, esto es una contradicción. Por lo tanto, hay algunos $n$ tal que $K_n \subset C$. De ello se desprende que $x_n \to x$.

Para ver por qué éste no funciona en infinitas dimensiones, considere la secuencia de $0,e_2,0,e_3,0,e_4,...$$l^2$. Deje $K_n = \overline{\operatorname{co}} \{ x_k \}_{k \ge n}$, y la nota que $\{ x_k \}_{k \ge 2n} \subset \overline{\operatorname{sp}}\{e_n, e_{n+1},... \}$. De ello se desprende que $\cap_n K_n = \{0\}$, pero $x_n \not\to 0$.