¿Qué es la geometría de la acción de un sesgo de simetría de la matriz en un vector arbitrario?

Question

¿Qué es la geometría de la acción de un sesgo de simetría de la matriz en un vector arbitrario?

La matriz de rotación es un sesgo de simetría de la matriz de al $\theta$ es un múltiplo de a $\frac{\pi}{2}$. Pero no puede ser cierto que cada sesgo de simetría de la matriz representa una rotación?

También, desde el líder de la diagonal es igual a cero, no puede representar a una escala ni un corte. De hecho, ninguno de los estándar de las matrices de transformación en la Wikipedia parecen encajar en el patrón de una arbitraria sesgo de simetría de la matriz.

Así que nada puede decirse acerca de la geometría de la acción de un sesgo de simetría de la matriz en un vector arbitrario?

Answer 1

Como se explica en Wikipedia, un sesgo de simetría de la matriz pueden ser introducidos en el formulario

$$\begin{bmatrix} \begin{matrix}0 & \lambda_1\\ -\lambda_1 & 0\end{de la matriz} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \begin{matrix}0 & \lambda_2\\ -\lambda_2 & 0\end{de la matriz} & & 0 \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \begin{matrix}0 & \lambda_r\\ -\lambda_r & 0\end{de la matriz} \\ & & & & \begin{matrix}0 \\ & \ddots \\ & & 0 \end{matriz} \end{bmatrix}$$

por una transformación ortogonal. Cada una de las $2\times2$ bloques de la diagonal es una rotación a través de $\pi/2$ veces una escala por $\lambda_i$. En otras palabras, existe una base tal que los vectores de la base forman parejas (a excepción de los que son aniquilados) y la acción en el plano formado por cada par es una rotación a través de $\pi/2$ y una escala.