Homeomorphism clase de GL_n?

Question

Por ejemplo, es fácil ver que $GL_1(\mathbb{C})$ es un plano menos un punto, y $GL_2(\mathbb{R})$ $\mathbb{R}^4$ con un topológico (medio abierto) cubo eliminado (ya que las matrices de determinante cero puede ser descrito de forma única por un elemento de a $[0,\pi)\times \mathbb{R}\times\mathbb{R}$ coordenadas polares). (No estoy plenamente satisfecho con la última descripción, sin embargo, ya no hace evidente, por ejemplo, cómo muchos de los componentes del espacio. Esto podría ser fijado por ser más específicos acerca de cómo el cubo se encuentra en $\mathbb{R}^4$.)

Mi pregunta es, hay una forma sistemática de describir la homeomorphism clase de $GL_n$ (con más de los números reales o complejos)?

Answer 1

Esto no es una respuesta completa, sino más bien un comentario largo. En primer lugar, de descomposición polar da un homeomorphism $$\left\{ \begin{array}{ccc} S^+ \times O(n) & \to & GL(n,\mathbb{R}) \\ (S,O) & \mapsto & SO \end{array} \right.,$$ where $S^+$ is the space of positive-semidefinite matrices which is homeomorphic to the space of symmetric matrices: $$\exp : S \overset{\sim}{\longrightarrow} S^+.$$ Then, $O(n)$ has two connected components homeomorphic to $(n)$. Thus, $$GL(n,\mathbb{R}) \simeq \left( S \times SO(n) \right) \coprod \left( S \times SO(n) \right),$$ so $GL(n, \mathbb{R})$ has two connected components homeomorphic to $(n) \times \mathbb{R}^{n(n+1)/2}$. Unfortunately, it seems that $PARA(n)$ no puede ser expresado muy bien con respecto a los habituales espacios.

En su libro, Hatcher da algunos ejemplos sencillos:

• $SO(1)$ es un punto,
• $SO(2)$ es homeomórficos para el círculo de $\mathbb{S}^1$,
• $SO(3)$ es homeomórficos para el espacio proyectivo $\mathbb{R}P^3$,
• $SO(4)$ es homeomórficos a $\mathbb{S}^3 \times \mathbb{R}P^3$,

Sin embargo, usted puede encontrar una estructura celular de $SO(n)$ en Hatcher del libro (capítulo 3.D).