Forma cerrada de una serie (dilogaritmo)

Question

Todos conocemos la función dilogaritmo (función de Spence):

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n^2}, \;\; x \in (-\infty, 1]$$

También se sabe que:

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos n x}{n^2}= \frac{\pi^2}{6}-\frac{\pi x}{2} + \frac{x^2}{4}$$

Esto se puede demostrar utilizando la conocida serie de Fourier $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin nx}{n} =\frac{\pi-x}{2}$ e integrando el término.

Mi principal objetivo aquí es evaluar ${\rm Li}_2(e^{ix})$ . Empiezo utilizando la identidad de Euler:

$$e^{ix}=\cos x + i \sin x$$

Por lo tanto:

$${\rm Li}_2\left ( e^{ix} \right )= \underbrace{\sum_{n=1}^{\infty }\frac{\cos n x}{n^2}}_{\frac{\pi^2}{6}- \frac{\pi x}{2}+ \frac{x^2}{4}}+ i \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin nx}{n^2}$$

Así que lo que queda ahora es evaluar la última serie. Lo único que se me ha ocurrido es utilizar la serie de Fourier:

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos nx}{n} = -\ln \left( 2 \sin \frac{x}{2} \right)$$

e integrar a lo largo de los términos. Pero no puedo integrar el lado derecho. Creo que no hay una forma cerrada, a menos que me equivoque. Me gustaría que me ayudaran en el último paso.

Answer 1

"Lo que queda" es en realidad la única parte no trivial de $\operatorname{Li}_2\left(e^{ix}\right)$ dado por la función de Clausen. El hecho de que se pueda evaluar la serie del coseno está relacionado con la identidad $$\operatorname{Li}_2\left(z\right)+\operatorname{Li}_2\left(z^{-1}\right)=-\frac{\ln^2\left(-z\right)}{2}-\frac{\pi^2}{6}.$$ Reformulando ligeramente, podemos reescribir esto como $\displaystyle 2\,\Re \operatorname{Li}_2\left(e^{ix}\right)=\frac{\left(x-\pi\right)^2}{2}-\frac{\pi^2}{6}$ .

Answer 2

Demasiado largo para un comentario: Un pequeño consejo intuitivo: ¿Qué es lo que $~\dfrac{\sin t}t~$ y $~\dfrac{\cos t}{t^2}~$ ambos

tienen en común? Son incluso las funciones . Por lo tanto, si usted nota varias series o integrales

cuyo sumando o integrando pertenece a esta categoría teniendo una bonita forma cerrada, que

no debería sorprenderte. Por ejemplo, $~\displaystyle\int_{-\infty}^\infty\frac{\sin x}x~dx=\pi,~$ o $~\displaystyle\int_{-\infty}^\infty\frac{\cos x}{1+x^2}~dx=\frac\pi e,~$

o $~\displaystyle\sum_{n=-\infty}^\infty'\frac1{n^{2k}}=a_k~\pi^{2k},~$ donde el El apóstrofe representa la omisión del divergente

término correspondiente a $n=0$ y $a_k\in\mathbb Q$ . Evidentemente, si se sumara o integrara impar

en todo este intervalo, el resultado sería $0$ para las integrales, y $0$ o $f(0)$

para las sumas, ya que los valores en $(-\infty,0)$ anularía los de $(0,\infty)$ . Así que, en este sentido, si

se definiera impar $\zeta$ valores como $\zeta(2k+1)=\displaystyle\sum_{n=-\infty}^\infty'\frac1{n^{2k+1}},~$ estos sí poseerían

una forma cerrada muy bonita, a saber $0$ . De hecho, $~\displaystyle\int_0^\infty\frac{\sin x}{1+x^2}~dx~$ también carece de un cerrado conocido

forma, al igual que $~\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{\sin nx}{n^2}.~$ Por favor, no me malinterpreten, hay excepciones para cada

regla, y se pueden encontrar contraejemplos de ambos tipos, pero normalmente son triviales

$($ por ejemplo, el integrando impar cuya primitiva puede ser expresada en forma cerrada, y luego evaluada

en los extremos del intervalo de integración, o, en el caso de $~\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{\cos nx}n,~$ el famoso

Serie Mercator para el logaritmo natural; por no hablar de toda una infinidad de funciones pares

cuya suma o integral definida simplemente no posee una forma cerrada, para la trivial

razón por la que la inmensa mayoría de las funciones simplemente no tienen una, y las que

son la excepción y no la regla $)$ .