Muestreo de Estadísticas de Orden de Integración Numérica

Question

Esto puede ser una pregunta estúpida. Quiero hacer de Monte Carlo de la integración a través de una región

$$ {\int}_{D_{1} \geq D_{2} \geq ... \geq D_{m} \geq 0} g(d_1,\ldots,d_m) f(d_1) f(d_2) \cdots f(d_m) \text{d}d_1\cdots\text{d}d_m$$

donde $g$ es una función arbitraria y $f$ son funciones de densidad (ya sea uniforme o normal). Mi pregunta es, para Monte Carlo integración en esta región, puedo simplemente dibujar $m$ de las muestras de $f$ y ordenarlos? Si no, ¿cómo me los puntos de muestreo para esta integración? Si yo estuviera haciendo esto en R, cuál es la función del yo usaría para muestra de esto?

Gracias!

Answer 1

Esta es una correcta evaluación del problema, ya que $$ \int_{D_{1} \geq D_{2} \geq ... \geq D_{m} \geq 0} g(d_1,\ldots,d_m) f(d_1) f(d_2) \cdots f(d_m) \text{d}d_1\cdots\text{d}d_m $$ puede convertirse en una expectativa en virtud de la orden de estadísticas de distribución $$ m!\ \int g(d_1,\ldots,d_m) \dfrac{1}{m.}\mathbb{I}_{d_{1} \geq d_{2} \geq ... \geq d_{m} \geq 0} f(d_1) f(d_2) \cdots f(d_m) \text{d}d_1\cdots\text{d}d_m $$ (por lo tanto el factor faltante $m!$). Y la simulación de una muestra a partir de las estadísticas de orden es sencillo:

mean(g(t(apply(matrix(rt(1000,2),nr=100,nc=10),1,sort)))

donde g es su función de interés (y rt es el $t$-distribución del generador, para ser reemplazado con la suya).