probar que el producto de números primos en un intervalo de tiempo dado es igual o inferior a binom

Question

Deje $\pi(m, n)$ denota el conjunto de números primos en el intervalo de $[m,n]$.

Necesito mostrar que -

$$\prod_{p\in \pi(m+1, 2m)} p \leq \binom{2m}{m} $$

He intentado un montón de maneras para que las horas y el resultado no llega.

Answer 1

Claramente no es suficiente para demostrar que cualquier prime $p$ $m+1\le p\le 2m$ divide el lado derecho. El lado derecho es igual a $$ \frac{2 m(2m-1)\cdots (m+1)}{m.}$$ Now $p$ divides the numerator, and $p$ no dividir el denominador, por lo que estamos por hacer.

Answer 2

Demasiado tarde a la fiesta, pero de manera más formal, usted puede partición $$\{m+1,m+2,...,2m\}=\pi(m+1,2m)\bigcup c(m+1,2m)$$ donde$c(m+1,2m)=\left\{n \in [m+1,2m]\mid n \text{ - not prime, i.e. composite}\right\}$, con lo que $$\binom{2m}{m}=\frac{2m(2m-1)...(m+1)}{m!}=\frac{1}{m!} \left(\prod\limits_{p\in \pi(m+1,2m)}p\right) \cdot \left(\prod\limits_{k\in c(m+1,2m)}k\right)= ...$$ como cada primer $p\in \pi(m+1,2m)\Rightarrow p> m$ $m! \nmid \prod\limits_{p\in \pi(m+1,2m)}p$ $$...= \left(\prod\limits_{p\in \pi(m+1,2m)}p\right) \frac{\left(\prod\limits_{k\in c(m+1,2m)}k\right)}{m!}\geq \prod\limits_{p\in \pi(m+1,2m)}p$$