Deje $L$ ser la distancia entre el $(x,y)$ en la curva de $x^2+2y=0$$(0,-1/2)$. A continuación,$L^2=x^2+(y+\frac{1}{2})^2=-2y+(y+\frac{1}{2})^2$, $\frac{dL^2}{dy}=-2+2(y+\frac{1}{2})=0$, que da $y=1/2$.
Pero esto es claramente incorrecta. $y=1/2$ no aún se encuentran en la curva!
Sé que si expresamos $y$ en términos de $x$, y luego se diferencian más de $x$, podemos obtener la respuesta correcta $(0,0)$.
Pero yo no averiguar lo que está mal cuando podemos diferenciar $y$.
Rompecabezas interesante.
Si se dibuja una imagen verás el problema. La imagen y el álgebra decirle que $y$ debe ser de valor no positivo.
Ahora a pensar más detenidamente acerca de cómo encontrar el mínimo de una función derivable. Que puede ocurrir a raíz de la derivada o en un punto final del dominio.
En este caso el mínimo es de a $0$; la distancia aumenta a medida $|y|$ aumenta a lo largo de la negativa $y$-eje.
Lo que tienes es un problema de minimización de la función cuadrática $x^2+(y+\frac12)^2$ bajo la restricción cuadrática $x^2+2y=0$.
Como $y$ es limitada (debe ser no-positivo), nada garantiza que el mínimo se produce en un punto fijo, puede ocurrir en el extremo de $y=0$ lugar.
En el lado opuesto, $x$ libre.
Usted tiene Ethan Bolker la respuesta. Voy a hacerle una pregunta que podría hacerla más clara. Deje $f$ dominio $(-1,3]$, y estar dado por $f(x) = x^2$ en ese dominio. Donde es el máximo de $f$? (No se donde la derivada es igual a cero; eso es el mínimo global.) Podríamos haber conseguido un mayor máximo si (de alguna manera) podríamos ampliar el dominio de un poco? ¿Significa esto que, además de los puntos donde la derivada es cero, tenemos que comprobar los puntos donde la derivada no está definida (por ejemplo, donde no podemos tomar los límites de ambos lados)?
Minimizar $L^2=x^2+\left(y+\frac12\right)^2$$x^2+2y=0$.
La limitación de la optimización del problema puede ser resuelto por el método de sustitución. Sustituyendo $y=-\frac{x^2}{2}$ funciona sin problemas como OP declaró.
Sustituyendo $x^2=-2y$ tiene más restricciones implícitas en $x$$y$: $$y=-\frac{x^2}{2} \Rightarrow x\in (-\infty,+\infty); y\in (-\infty,0].$$
Así que después de la sustitución de $x^2=-2y$, tenemos otro problema de optimización restringida: $$\text{Min} L^2=-2y+\left(y+\frac12\right)^2 \ \text{s.t.} \ \ y\in (-\infty,0].$$
Según el teorema del valor Extremo, el óptimo se produce en la crítica (siempre que pertenece a la región factible) o puntos de frontera. El punto crítico de la $y=\frac12$ no pertenece a $(-\infty,0]$. Por tanto, el mínimo se encuentra en la frontera $y=0$. Tenga en cuenta que $L^2(-\infty)=+\infty$.
Me corrija si mal:
Peatonal de enfoque:
1) $y=-(1/2)x^2$ es una parábola, $Y-$eje es eje de simetría, el vértice $(0,0)$, la apertura hacia abajo.
2) Punto de $P (0,-1/2)$.
Restringir el cálculo del 3er cuadrante, simetría, es decir,
$x\ge 0$, $y \le 0$.
3) Estamos buscando un punto de $(x,y)$ en la parábola que tiene una mínima distancia a $P$.
4)$D(y)= -2y +(y+1/2)^2$ donde $D(y)= (distance)^2$.
Recuerdan $y \le 0$:
$D'(y) = -2 +2(y+1/2) =$
$ -1 +2y \lt 0$.
Por lo tanto $D'(y)$ es estrictamente una función decreciente.
El máximo es de a $y=0$.
$D(y=0)= 1/4$.
Formalmente: $D'(y) =0$ , da $y = 1/2$,
pero este valor es descartada ya que consideramos que el 3er cuadrante , donde $x\ge0, y\le 0$.
Nota: La función de $D(y)$ , $y \in R$, tiene un mínimo en$y=1/2$,$D(y=1/2)=0$.
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