Una concurrencia que implica que los pies de una altitud, el centroide y un punto de la circunferencia

Question

Sea $ABC$ sea un triángulo acutángulo y supongamos $X$ es un punto de la circunferencia de $\Delta ABC$ con $AX||BC$ y $X\neq A$ . Denotemos por $G$ el centroide del triángulo $ABC$ y por $K$ el pie de la altitud de $A$ a $BC$ . Demostrar que $K,G,X$ son colineales.

He intentado aplicar el teorema de Menelao pero no he encontrado un triángulo para aplicarlo. Encontré una homotecia centrada en $G$ que asigna el triángulo medio al triángulo principal. Supongo que los mapas de homotecia $K$ a $X$ es decir $K$ un punto en la circunferencia del triángulo medial, pero no he podido probarlo. Por favor, ayúdame.

Answer 1

Suelo disfrutar de los excesos, pero el teorema de Menelao es demasiado incluso para mi gusto, aquí.

Añade un par de puntos: $M$ como punto medio de $BC$ y $J$ como proyección de $X$ en $BC$ . En el rectángulo $AKJX$ el centroide $G$ se encuentra en $\frac{2}{3}$ del segmento que une $A$ con el punto medio de $KJ$ por lo que trivialmente se encuentra en la diagonal $KX$ .

Answer 2

Que la línea $AK$ corta la circunferencia de $ABC$ en $H'$ y que $H$ sea un ortocentro de $ABC$ . Decir circuncentro de $ABC$ es el origen de los vectores de posición. Ahora tenemos $$\vec{H}=\vec{A}+\vec{B}+\vec{C} = 3\vec{G}$$ y $$ \vec{K} = {1\over 2}(\vec{H}+\vec{H'})$$ Desde $\angle H'AX = 90^{\circ}$ tenemos $\vec{H'}=-\vec{X}$ . Si juntamos todo esto juntos obtenemos: $$ \vec{K} = {1\over 2}(3\vec{G}-\vec{X})\;\;\;\Longrightarrow \;\;\; \vec{GX} = -2\vec{GK}$$ Así que $G,X,K$ son colineales y $G$ es un centro de una homotecia con factor $k=-2$ que lleva $K$ a $X$ .