Encontrar una función acotada con ilimitada derivada a cero

Question

Estoy trabajando en un análisis lineal el problema en el que hemos reducido el problema de encontrar una función continua $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ que es acotado, pero tiene una infinidad de derivada en cero. Hasta ahora, hemos evocado el ejemplo $$f_n(x) = \frac{2}{\pi}\arctan(nx)$$ Esta secuencia de funciones tendrá infinitas derivado en $0$ al $n\to \infty$, y está delimitado por $1$. Yo creo que esto va a funcionar para el bien de nuestro problema, pero me gustaría encontrar una función que no depende de la $n$. Me puedo imaginar qué aspecto tendría esto, pero no puedo venir para arriba con una función de ejemplo. Alguna idea? Todos apreciaban.

Answer 1

Por ejemplo,

Answer 2

Un cuarto de un círculo unitario (no, el otro cuarto) arriba y abajo: $$ f (x) =\begin{cases} 0 , & x

Answer 3

Otra.

Answer 4

Mi primer pensamiento fue algo así como

$$f(x) = x\sin\left(\frac1x\right)$$ $$f'(x) = \sin\left(\frac1x\right) - \frac1x\cos\left(\frac1x\right)$$

Esto limita entre $1$y $-1$ (tenga en cuenta que $\lim_{x\to\infty}f(x)=1$), y su derivado tiene una discontinuidad infinita oscilatoria.

Además, $$\lim_{x\to 0}f(x)=0$$ so $f $ itself has a removable discontinuity; it can be made continuous by defining $f (0) = 0$.