Suponga $0<\theta<{\pi\over2}$.
La reclamación. El resultado de la órbita está cerrado iff $\theta$ es un racional múltiples de $\pi$.
Prueba. Sacamos nuestra figura en el plano complejo. Deje $\ell_1$ ser el eje real, y elija $\ell_2$ a través del origen. Marcamos los puntos en $\ell_1$ $p_k$ y los puntos de $\ell_2$ $q_k$ y, a continuación, obtener una órbita de forma
$$(p_0,q_0,p_1,q_1,p_2, \ldots)\ .$$
Definir
$$z_k:=q_k-p_k\ ,\qquad{\rm resp.,}\qquad\vec z_k:=\vec{p_k q_k}\ .$$
Tenga en cuenta que para todas las $k\geq0$ ha $|z_k|=L$ con un determinado $L>0$. Además $p_k$ $q_k$ está definida únicamente por $z_k$: Colocar la cola de $\vec z_k$ cualquier lugar de $\ell_1$ y, a continuación, traducir $\vec z_k$ horizontal hasta que su cabeza esté en $\ell_2$. La posición final de la cola, a continuación, se $p_k$, y la posición final de la cabeza es $q_k$. De ello se desprende que es suficiente para analizar la secuencia de $(z_k)_{k\geq0}$.
La inspección de la órbita de la construcción muestra que
$$p_1-q_0=\overline{q_0-p_0}\ .$$
De la misma manera como $p_1-q_0$ resultados de la conjugación de $q_0-p_0$ con respecto al eje real $\ell_1$ la siguiente diferencia $q_1-p_1$ resultados de "conjugación" $p_1-q_0$ con respecto al $\ell_2$. De ello se sigue que
$$z_1=q_1-p_1=e^{i\theta}\>\overline{e^{-i\theta}(p_1-q_0)}=e^{2i\theta}(q_0-p_0)=e^{2i\theta} z_0\ .$$
Pero esto implica
$$z_{k+1}=e^{2i\theta} z_k\qquad(k\geq0)\ ,$$
y luego, por inducción,
$$z_k=e^{2ik\theta}z_0\qquad(k\geq0)\ .\qquad\square$$
Si $\theta={m\over n}\pi$ en términos mínimos, el período de la órbita es $n$, independientemente de la elección de $p_0\in \ell_1$$q_0\in\ell_2$, con lo que la fijación de un $L=|q_0-p_0|>0$.
