Creo que este post acerca de la construcción de bloques puede resolver algunos de sus subyacentes de la investigación filosófica. Después de eso, deja que me ocupe de los detalles específicos en su pregunta:
Por ejemplo, estoy dispuesto a aceptar que existen cadenas, que pueden ser pegados juntos o separados, también estoy dispuesto a aceptar la recursividad y la inducción. También estoy dispuesto a aceptar el recuento de los números (que como bien podría ser infinita: I, II, III, ...).
Quizás sorprendentemente, uno puede hablar de finito (binario) de las cuerdas con una muy débil del sistema, tales como la Teoría de la Concatenación (TC). Como se muestra en el post vinculado TC es tan débil que no puede probar que la cancelación. Vamos a TC* TC además de un adecuado esquema de inducción, como la Aritmética de Peano (PA) puede ser axiomatized como PA− además de la inducción. TC* puede demostrar, básicamente, todas las propiedades básicas de las cadenas, dentro de la que se puede codificar los números naturales.
También puede ser de extrañar que el TC, a pesar de ser tan débil, es esencialmente incompleta, lo que significa que no computable extensión de puede probar o refutar cada frase de más de TC. Esto es aproximadamente debido a que la CT es capaz de expresar cualquier instancia de la detención problema, y es capaz de verificar la salida de un programa dado que se detiene en la entrada dada. (Detalles aquí.)
Por lo que he leído y entendido - conjuntos de primer orden de la lógica son diferentes a los de la teoría de conjuntos.
Generalmente, se establece que se construyen en la lógica básica son muy bonitos conjuntos. A menudo son aritméticas (como se define en los bloques de edificio de correos). Esto también significa que una gran cantidad de resultados fundamentales en la lógica puede ser probada dentro de ACA, incluyendo la unsolvability de la detención problema, teorema de la incompletitud de Gödel, Henkin la prueba de la semántica de la integridad teorema, y así sucesivamente.
Pero en la mayor lógica, especialmente cuando la investigación de la teoría de conjuntos ZFC, los lógicos suelen trabajar dentro de ZFC como el meta-sistema.
Al principio pensé que es porque pone en primer orden de la lógica son finitos, por definición, y son básicamente colecciones de términos finitos, cadenas, y así sucesivamente. A continuación, las paradojas que surgen en la teoría de conjuntos, debido a los infinitos no surgen de la lógica. Pero, por otro lado, usamos el conteo de los números y, a continuación, por ejemplo, el número de términos es infinito.
Esto parece estar basada en un grave error conceptual. Como se señaló, hay infinitamente muchos finito de cadenas. Además, las paradojas no 'surgir' debido a infinito. Que surgen cuando las personas hacen suposiciones para nebulosa de conceptos que resultan ser incompatibles. Esto sucedió con la ingenua teoría de conjuntos, en la que Russell de la paradoja de los rendimientos de una contradicción sin cualquier conjunto infinito.
Muchos lógicos, creo que ACA es conceptualmente sonido, y nosotros ciertamente no esperar cualquier prueba de la contradicción más ACA. Algunos lógicos duda ZFC la aritmética solidez, y no existe una clara justificación filosófica para su significatividad, pero todavía nadie ha encontrado ninguna evidencia para indicar un problema. Algunos de ellos incluso se duda de $Π^1_1$-CA, que es una impredicative fragmento de segundo orden de la aritmética (ver este y a este respecto predicativity), a diferencia de ACA.
Son conjuntos de pares ordenados, funciones, bijections - nociones primitivas (por la noción primitiva entiendo concepto que no está definido) en primer orden de la lógica (al menos en la que la mayoría de los matemáticos de uso)?
Como Carl lo indica, estos son primitivas nociones para la mayoría de los matemáticos que realmente no se preocupan acerca de cuestiones fundamentales. A partir de una fundación independiente de la vista, es justo considerar tuplas y conjuntos y funciones primitivas. No bijections (o inyecciones), debido a que pueden ser definidos como tipos especiales de funciones. Por supuesto, es peligroso decir esto, de lo contrario Russell iba a preguntar lo que impide la construcción de su famoso conjunto de $\{ x : x \notin x \}$. Así que al final uno todavía tiene que pensar acerca de las fundaciones, guste o no.
Pero nadie realmente se preocupa de cómo tuplas o funciones están codificados en la teoría de conjuntos ZFC, por muy buena razón: sólo nos preocupa que se nos puede manipular como se esperaba. Para tuplas, sólo necesitamos tupla formación y proyección. Para las funciones, sólo necesitamos función de la construcción y aplicación.
Si los conjuntos de pares ordenados, las funciones no son primitivas nociones de primer orden de la lógica, entonces ¿cómo se define?
Si todavía no está claro, la lógica de primer orden es simplemente la lógica del lenguaje, y no tiene nada que ver con los juegos o pares o funciones. La teoría de conjuntos ZFC es de primer orden de la teoría, porque "$\in$" puede ser tratada como un predicado binario-símbolo. Hay otros de primer orden teorías, tales como la PA y la teoría de grupos y la teoría de los lineales de los pedidos.
Pero estas nociones pueden ser considerados primitivos en el campo matemático llamado de la lógica matemática, aunque si se quiere ser preciso acerca de lo que los conjuntos y funciones que se pueden construir, usted tiene que decidir sobre sus fundamentales del sistema. También, la mayoría de la gente (incluso los teóricos) no funcionan en el puro ZFC, pero dentro de una más informal, el sistema que se apoya sobre la marcha definitorial de expansión e incluso inductivo definiciones (detalles aquí).
