¿Es cierto que $b^n-a^n < (b-a)nb^{n-1}$ cuando $0 < a< b$?

Question

Un libro de texto de análisis verdadero, dice que la identidad $$b^n-a^n = (b-a)(b^{n-1}+\cdots+a^{n-1})$ $ produce la desigualdad $$b^n-a^n

No importa cómo se mire, la desigualdad parece ser incorrecto. Por ejemplo, la desigualdad no coger $n=1$ cuando uno trata de inducción matemática. No tiene para otros valores de $n$ demasiado. Supongo que algo me falta y se agradeceria ayuda.

Answer 1

\begin{align} b^n-a^n & = (b-a)(b^{n-1}+ b^{n-2}a + b^{n-3}a^2 + b^{n-4}a^3 + b^{n-5} a^4 +\cdots+a^{n-1}) \[10pt] &

Answer 2

Observe que $n > 1$ para la afirmación sea válida. Así: $b^{n-1-k}a^k

Answer 3

Básicamente necesitamos mostrar $$ b^{n-1}+\ldots+a^{n-1}<nb as="" cuando="" desde="" desigualdad="" el="" entonces="" es="" hay="" la="" para="" que="" s="" t="" y="">1$.</nb>

Tenga en cuenta que hay la misma pregunta aquí que utiliza una muestra de $\le$, por lo que creo que es una errata en el texto.

Answer 4

$0

\begin{align} b^n-a^n & = (b-a)(b^{n-1}+b^{n-2}a+\cdots+a^{n-2}b + a^{n-1}) \ & =(b-a)\sum_{k=0}^{n-1} b^{n-k-}a^k \ &