¿Cómo minimizar la siguiente función?

Question

Tengo la siguiente función de $x$ $$f(x)=\max \left\{\sqrt{a^2+x^2-2ax\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)},\sqrt{b^2+x^2-2bx\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)}\right\}$$ where $x>a$ and $b>x$. $\theta$ can be any value from $0$ to $\pi$. $a,b,\theta$ are constants and I want to minimize this function with respect to $x$. I know that the derivative of the first term is positive but still I can not find how to solve this problem because of dependence on $\theta$.

Cualquier ayuda en este sentido será muy apreciada. Gracias de antemano.

Estoy muy agradecido a @Jack D'Aurizio y @Yves Daoust por sus respuestas. Especialmente la imagen que fue añadido por @Jack D'Aurizio que me ayudó a entender el problema anterior. Aunque podemos seguir los pasos mencionados por estas dos personas a encontrar la respuesta. Sin embargo, también tengo un razonamiento basado en la imagen adjunta por @Jack D'Aurizio), que también llevan a la misma respuesta (me lo creo). Tenemos que encontrar el valor óptimo de $x$ en [a,b]. En primer lugar, observamos que a medida que nos movemos de un punto a a $a$ hacia el punto de $b$ tomamos nota de que, hasta un cierto punto ($L$) el primer argumento aumenta mientras que el segundo argumento disminuye. Por lo tanto, si se nos pide encontrar el punto óptimo entre el intervalo de $[a,L]$, entonces nuestra respuesta se obtiene mediante la equiparación de los dos argumentos de $\max$ función en mi primera ecuación de (que va a ser $\frac{a+b}{2\cos(\theta)}$). Ahora si $\frac{a+b}{2\cos(\theta)} \geq b\cos(\theta)$, entonces el valor de $x$, lo que minimiza $f(x)$ se $b\cos(\theta)$ ya que si nos acercamos más a la derecha, a continuación, tanto de los argumentos de $\max$ función de aumentar. Por lo tanto, moverse más a la derecha no puede ser una solución óptima.

Answer 1

$$f(x)=\max\left(\|x-ae^{i\theta/2}\|,\|x-be^{i\theta/2}\|\right) $$ por lo tanto, asumiendo $a>0$ estamos en la siguiente configuración:

Ahora considere que

1. La distancia de un punto es una función convexa;
2. Si $f,g$ son funciones convexas, $\max(f,g)$ es una función convexa;
3. Convexa de las funciones convexas de los dominios de alcanzar su máximo en el límite;
4. El lugar geométrico de los puntos $P$ tal que $\max(PA,PB)=d$, si no está vacío, está dada por la unión de dos arcos de círculo, simétrico con respecto a la bisectriz perpendicular de $AB$;
5. Deje $A=ae^{i\theta/2}$$B=be^{i\theta/2}$. Los puntos anteriores asegurarse de que la solución del problema de minimización, está dada por la proyección de $B$ $ab$ línea, si es que este punto pertenece a la $ab$ segmento. De lo contrario, la solución está dada por uno de los extremos de $ab$. Esta es la única parte en la que se $\theta$ desempeña un papel activo.

Voy a dejar que termine.

Answer 2

Sugerencia:

Los dos argumentos son iguales cuando

$$x^2-2ax\cos\phi+a^2=x^2-2bx\cos\phi+b^2$$ o

$$\hat x=\frac{a+b}{2\cos\phi}$$ where $0<\cos\phi<1$. With $b>a$, $\hat x>a$ and $\hat x$ reaches $b$ when $\cos\phi=\dfrac{a+b}{2b}$.

Así que en dos casos:

• si $\cos\phi\le\dfrac{a+b}{2b}$, minimizar el segundo argumento sobre $[a,b]$,

• si $\cos\phi>\dfrac{a+b}{2b}$, minimizar el segundo argumento sobre $[a,\hat x]$, y el primer argumento sobre $[\hat x,b]$.

Los mínimos locales de estas expresiones se obtienen cuando el $\bar x=a\cos\phi$ (resp. $\bar x=b\cos\phi$). El primer $\bar x$ siempre está fuera de rango, y la segunda también si $b\cos\phi<a$.

Por último, usted tiene que calcular los valores en los correspondientes extremos del intervalo y el máximo local, dependiendo de la existencia de $\hat x$$\bar x$.