Un límite que implica la secuencia de Thue-Morse

Question

(es una continuación de mi pregunta anterior )

Definamos $t_n$ por la recurrencia $$t_0 = 1, \quad t_n = (-1)^n \, t_{\lfloor n/2\rfloor}.\tag1$$ Es fácil ver que $|t_n|=1$ y los signos siguen el mismo patrón que el Secuencia de Thue-Morse : $$1,\,-1,\,-1,\,1,\,-1,\,1,\,1,\,-1,\,-1,\,1,\,1,\,-1,\,1,\,-1,\,-1,\,1,\,...\tag2$$ (ver esta pregunta para un ejemplo de fórmula no recursiva para $t_n$ ).

Ahora, déjalo: $$\mathcal{L}(z)=\lim_{n\to\infty}\,\sum_{k=1}^{2^n-1}t_k\,k^z.\tag3$$ Conjeturo que las siguientes proposiciones son válidas:

$\color{gray}{\text{(a)}}$ El límite $\mathcal{L}(z)$ existe para todos los $z\in\mathbb C$ .

$\color{gray}{\text{(b)}}$ $\mathcal{L}(z)$ es un función completa de $z$ .

$\color{gray}{\text{(c)}}$ $\mathcal{L}(z)=0$ si y sólo si $z\in\mathbb Z^+$ .

¿Podemos demostrar estas conjeturas? ¿Podemos encontrar una representación diferente de $\mathcal{L}(z)$ ? ¿Tiene esta función alguna propiedad interesante?

Actualización: La parte "si" de la conjetura $\color{gray}{\text{(c)}}$ es Ciertamente, es cierto . Ahora estoy bastante seguro de que la parte "sólo si" falla en algunos puntos del eje imaginario (por ejemplo, cerca de $z\approx i\,4.53236...$ es exactamente $i\,\pi/\ln2$ ?). Sigo preguntándome si hay ceros excepto los enteros positivos y fuera del eje imaginario.

Actualización: He encontrado un artículo muy relevante e interesante (preprint) de Giedrius Alkauskas, Serie de Dirichlet asociada a la secuencia de Thue-Morse $^{[1]}$$\!^{[2]}$ (tenga en cuenta que el autor afirma que $^{[3]}$ algunos resultados pueden ser incorrectos).

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Aquí está mi intento de trazar la función para un rango de argumentos reales:

Answer 1

Afirmo que, para los no enteros $z$ con $\Re z > 0$ se cumple lo siguiente: $$ \mathcal{L}(z) = \frac{1}{\Gamma(-z)} \int_0^\infty t^{-z-1} \prod_{k=0}^\infty (1-e^{-2^k t})\,dt.$$ Esta es mi manera de conseguirlo. Deja que $a_1, \ldots, a_n, b$ sean números reales positivos, y $z$ sea un número complejo no entero con $\Re z < n$ . Entonces $$ \int_0^\infty t^{-z-1} e^{-bt} \prod_{k=1}^{n} (1-e^{-a_k t})\,dt = \Gamma(-z) \sum_{c\in\{0,1\}^n}(-1)^{c_1+\ldots+c_n}(b+c_1 a_1+\ldots+c_n a_n)^z.$$ Esto se puede demostrar por inducción en $n$ (esta es la razón de introducir $b$ ). Ahora toma $a_k=2^{k-1}$ : $$ \int_0^\infty t^{-z-1} e^{-bt} \prod_{k=0}^{n-1} (1-e^{-2^k t})\,dt = \Gamma(-z) \sum_{k=0}^{2^n-1} t_k (b+k)^z$$ (donde $t_k$ es la secuencia de la pregunta), y queda por tomar $n\to\infty$ y $b \to 0$ .