Forma cerrada para la integral $\int_0^{\pi/2} \frac{x-\sin x}{\tan x-x} dx$

Question

¿Podemos encontrar una forma cerrada para la siguiente integral (en términos de cualquier constante conocida, funciones elementales o especiales)? El valor numérico obtenido por Wolfram Alpha es:

$$I=\int_0^{\pi/2} \frac{x-\sin x}{\tan x-x} dx=0.51235905260998669767\dots$$

La función bajo la integral es muy agradable en el rango de interés y se ve así:

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Lo que sabemos sobre la función bajo la integral:

$$f(x)=\frac{x-\sin x}{\tan x-x}$$

$$f(-x)=f(x)$$

$$\lim_{x \to 0} f(x)=\frac{1}{2}$$

$$\lim_{x \to 0} f'(x)=0$$

$$\lim_{x \to \pi/2} f(x)=0$$

$$\lim_{x \to \pi/2} f'(x)=1-\frac{\pi}{2}$$

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La función es muy aproximada por su serie de Taylor (en el rango de interés):

$$f(x)=\frac{1}{2}-\frac{9}{40}x^2+\frac{27}{2800}x^4-\frac{27}{112000}x^6+\cdots$$

Esto nos permite estimar la integral:

$$\frac{\pi}{4}-\frac{3}{320}\pi^3+\frac{27}{448000}\pi^5-\frac{27}{100352000}\pi^7 < I < \frac{\pi}{4}-\frac{3}{320}\pi^3+\frac{27}{448000}\pi^5$$

O numéricamente (con dígitos correctos marcados):

$$\color{blue}{0.5123}4485141169155 < I < \color{blue}{0.51}315747016517901$$

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Si no existe una forma cerrada (lo cual considero probable), ¿podemos encontrar una integral diferente o una expresión en serie con términos generales expresados en términos de funciones elementales o especiales conocidas?

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También podemos escribir:

$$I=\int_0^{\pi/2} \frac{\pi /2-x-\cos x}{\cot x+x-\pi/2} dx$$

Aunque, en este caso no veo cómo usar esto.

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Integrar por partes es difícil, porque para las opciones obvias de $u$, obtenemos divergencia en $0$. Elegir la función integrada completa como $u$ hace que la expresión sea más complicada:

$$I=\int_0^{\frac{\pi }{2}} \frac{ x \left(1-\cos ^3 x\right)+\sin x \cos 2 x-\frac{1}{2} \sin 2 x}{(x \cos (x)-\sin (x))^2} x\, dx$$

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¿O tal vez la integración de contornos podría funcionar aquí? En este caso, implicaría logaritmos, con los cuales no sé cómo tratar.

Poniendo $e^{i x}=z$ y eligiendo el contorno para ser la mitad del círculo unitario (posiblemente, no estoy seguro), tendremos:

$$I=\frac{1}{4} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{(2 i x -e^{ix}+e^{-ix})(e^{i x}+e^{-ix})}{e^{ix}-e^{-ix}-ix(e^{ix}+e^{-ix})} dx=\frac{1}{4i} \oint \frac{(2 z \log z-z^2+1)(z^2+1)}{(z^2-1-(z^2+1) \log z)z^2} dz$$

No tengo ni idea de qué hacer con los logaritmos, y me parece que la única singularidad de la función dentro del contorno está en $z=0$.

Answer 1

Aquí hay algo que puede ser útil o no:

$$\begin{align} \int_0^{\pi/2}\frac{x-\sin(x)}{\tan(x)-x}dx &=\int_0^{\pi/2}\frac{x\cot(x)-\cos(x)}{1-x\cot(x)}dx\\ &=\int_0^{\pi/2}(x\cot(x)-\cos(x))\sum_{n=0}^\infty x^n\cot^n(x) dx\\ &=\sum_{n=0}^\infty \int_0^{\pi/2}(x\cot(x)-\cos(x))x^n\cot^n(x) dx\\ &=\sum_{n=1}^\infty \int_0^{\pi/2} x^n\cot^n(x) dx-\sum_{n=0}^\infty \int_0^{\pi/2}x^n\cot^n(x)\cos(x) dx\\ \end{align}$$

Probablemente esto no conduzca a una forma cerrada agradable, pero podría llevar a algunas buenas aproximaciones. Los primeros términos de la serie más a la izquierda son $$\int_0^{\pi/2} x\cot(x)dx=\frac{\pi\ln(2)}{2}$$ $$\int_0^{\pi/2} x^2\cot^2(x)dx=\pi\ln(2)-\frac{\pi^3}{24}$$ $$\int_0^{\pi/2} x^3\cot^3(x)dx=\frac{9\pi\zeta(3)}{16}+\frac{3\pi\ln(2)}{2}-\frac{\pi^3}{16}-\frac{\pi^3\ln(2)}{8}$$ y los primeros términos de la serie más a la derecha son $$\int_0^{\pi/2} \cos(x)=1$$ $$\int_0^{\pi/2} x\cot(x)\cos(x)=2G-1$$ $$\int_0^{\pi/2} x^2\cot^2(x)\cos(x)=4G+2-\frac{\pi^2}{2}$$ donde $G$ es la constante de Catalán.

¿Quizás esto puede llevar a una buena aproximación?

NOTA: Las integrales (difíciles) son cortesía de Wolfram. Si quieres saber cómo hacer alguna de ellas, deja un comentario y te responderé cuando las haya descifrado todas yo mismo. :)

Answer 2

Una breve respuesta sobre la expansión en series de la integral.

Sea $\,\displaystyle a_{m,n}:=\int_0^{\frac{\pi}{2}}(\cos x)^m \left(\frac{x}{\sin x}\right)^n\,$ con $\,\,m,n\in\mathbb{N}_0\,$.

Es $\enspace\displaystyle a_{0,0}=\frac{\pi}{2}\enspace$ , $\enspace\displaystyle a_{m,0}=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\frac{\Gamma\left(\frac{m-1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{m}{2}\right)}\enspace$ para $\enspace m>0\,$

y $\enspace\displaystyle a_{0,n}=I_n\enspace$ ( ver mi respuesta en Integral Generalizada $I_n=\int_0^{\pi/2} \frac{x^n}{\sin ^n x} \ \mathrm{d}x, \quad n\in \mathbb{Z}^+.$ ) .

Es: $$\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{x-\sin x}{\tan x - x}dx = -\frac{\pi}{2} + \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{1-\cos x}{1-x\cot x}dx = -\frac{\pi}{2} + \sum\limits_{n=0}^\infty (a_{n,n} – a_{n+1,n}) $$

Para $\,n\ge 1\,$ tenemos:

$$a_{n,n}=\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} (x\cot x)^n dx = \frac{\left(\frac{\pi}{2}\right)^{n+1}\cos\frac{\pi n}{2}}{n+1} +$$$$+\frac{n}{2}\sum\limits_{q=0}^n {\binom n q}\sum\limits_{l=0}^n \frac{\left(\frac{\pi}{2}\right)^l\sin\frac{\pi l}{2}}{2^l l!}\sum\limits_{j=0}^{n-1} \begin{bmatrix}n\\{j+1}\end{bmatrix}\sum\limits_{v=0}^j {\binom j v}(-q)^{j-v}\eta(n-l+1-v)$$

$$a_{n+1,n}=\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} (\cos x)(x\cot x)^n dx =$$ $$=\frac{n}{2}\sum\limits_{q=0}^{n+1} {\binom {n+1} q}\sum\limits_{l=0}^n \frac{\left(\frac{\pi}{2}\right)^l\cos\frac{\pi l}{2}}{l!}\sum\limits_{j=0}^{n-1} \frac{1}{2^j} \begin{bmatrix}n\\{j+1}\end{bmatrix}\sum\limits_{v=0}^j {\binom j v}(1-2q)^{j-v}\beta(n-l+1-v)$$

con los números de Stirling de primer tipo $\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}$ definidos por $\displaystyle\sum\limits_{k=0}^n\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}x^k:=\prod\limits_{k=0}^{n-1}(x+k),$

y $\enspace\beta(s)$ := función beta de Dirichlet, $\enspace\eta(s)$ := función eta de Dirichlet, $\,\,$ y sus extensiones analíticas que también se pueden leer en mi respuesta a la pregunta Integral Generalizada $I_n=\int_0^{\pi/2} \frac{x^n}{\sin ^n x} \ \mathrm{d}x, \quad n\in \mathbb{Z}^+.$