¿Una ecuación de Diophantine resuelto cuando N no es un cuadrado?

Question

En la siguiente todas las variables se supone que ser números enteros.

Es fácil escribir una ecuación de Diophantine que tiene soluciones sólo al $N$ es un cuadrado. es decir,

$$N=A^2$$

Es trivial para escribir una ecuación de Diophantine que tiene soluciones si y sólo si $N$ es divisible por 4:

$$N = 4A$$

También es bastante fácil escribir un Diophantine que tiene soluciones si y sólo si $N$ es no divisible por 4:

$$(N-4A-1)(N-4A-2)(N-4A-3)=0$$

Pero ¿qué hay de una ecuación de Diophantine que tiene soluciones si y sólo si $N$ es no un número cuadrado?

(suma, producto y menos sólo puede ser utilizado).

Answer 1

Este es un enfoque, aunque no es posiblemente la más sencilla.

Un número $N$ no es un cuadrado perfecto si $A^2+1 \le N \le (A+1)^2-1$ algunos $A$. Pero, ¿cómo podemos codificar $X \le Y$? Sobre los números reales, el estándar truco sería escribir $Y = X + Z^2$, debido a $Z^2$ es siempre no negativo. Sobre los números enteros, que no acaba de funcionar, pero sabemos que $X \le Y$ si y sólo si hay cuatro enteros $P,Q,R,S$ tal que $Y = X + P^2 + Q^2 + R^2 + S^2$, mediante el uso de Lagrange de cuatro cuadrados teorema.

Así, obtenemos $$ N = A^2+1 + B^2 + C^2 + D^2 + B^2 \text{ y } A^2+2A = N + F^2 + G^2 + H^2 + y^2 $$ pero probablemente desee para escribir esto como una simple ecuación. Para ello, acaba de tomar $$ (N - A^2-1-B^2-C^2-D^2-E^2)^2 + (A^2+2A-N-F^2-G^2-H^2-I^2)^2 = 0. $$ Sobre los números enteros (o incluso de los reales), $X^2+Y^2=0$ si $X=Y=0$, nos da lo que quería.

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En realidad, el anterior solo que caracteriza positivo nonsquares: si $N$ es negativo, no hay ningún valor de $A$ podemos elegir. Pero podemos multiplicar la ecuación anterior por una ecuación que representa a $N\le-1$ fácilmente, la fijación de este problema.

Answer 2

La ecuación de Pell $$X^2-NY^2=1$$ tiene solución en los números enteros distinta de la trivial $(\pm1, 0)$ si y sólo si $N$ no es un cuadrado.

Para expresar ese $X^2 \neq 1$, se puede añadir una de las ecuaciones a partir de Lo que es el más simple de la ecuación de Diophantine equivalente a N no es cero?

que es, uno de los:

• $Z=1+A^2+B^2+C^2+D^2$
• $AZ=(2B+1)(3B+1)$
• $AZ=7+B^2+BC+C^2$

donde $Z=X^2-1$

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Edit: como en Misha Lavrov la respuesta, esto sólo se caracteriza positivo no cuadrados.