Límite máximo

Question

He encontrado una particularmente fuerte problema de límite:

Evalúe los siguientes límites: $$\lim_{n \to +\infty} \left(\sin\left(2\pi(k!)x\right)\right)^n\text{, with $n, k \in \mathbb{N}$ and $x \in \mathbb{R}$}$$ Usted encontrará una secuencia $a_k(x)$. Luego de evaluar el límite $$\lim_{k \to +\infty} a_k(x)$$ encontrar una función $f(x)$.

Lado de la pregunta: ¿es necesario que algo cambie si el $2$ dentro del seno está caído?

Ahora, ya he visto algo parecido a esto, pero en lugar de la función del seno tenía el coseno. Esa es la función de Dirichlet, dando a $1$ de los racionales y $0$ lo contrario.
El problema es que aquí tenemos una sinusoidal, que es $0$ en múltiplos de $2\pi$. Así que mi intuición es que el límite es $0$, pero que no tiene sentido con respecto a la declaración del problema!

Answer 1

Aviso que este sinusoidal no dependen $n$, por lo que el límite no está definido cuando el seno es igual a$-1$, lo que significa que $k!x\ne\frac34+\lambda$ todos los $\lambda\in\mathbb{N}$.
Ahora, considere la posibilidad de los casos, cuando el límite está definido. Si el seno es $1$$1$, de lo contrario es $0$. Esto significa que para $k!x=\frac14+\lambda$$1$. Así, podemos definir la secuencia de $a_k(x)$ $$a_k(x)=\begin{cases}1,&k!x=\frac14+\lambda\\0,&\text{otherwise}\end{cases}$$ Considerar el límite $$\lim_{k\to\infty}a_k(x)$$ Ya sabemos que es igual a $0$ o $1$ (asumimos que es definida), por lo que sólo tenemos que encontrar cuando este límite es igual a $1$. Esto ocurre cuando $$k!x\equiv\frac14\pmod1$$ Porque de $k!$ dividido por cualquier número entero es todavía entero, podemos concluir que si $x$ puede ser escrito como $$x=\frac1{4\omega}$$ para algunos $\omega\in\mathbb{N}$, entonces el límite no está definido, porque entonces es definido e indefinido que es imposible. Así, la respuesta final será $$\lim_{k\to\infty}a_k(x)=0,x\ne\frac{1}{4\omega}$$ Como una respuesta a tu pregunta, si soltamos $2$ desde el límite, el límite final será definido por $$x\ne\frac{1}{2\omega}$$ y para estos valores converge a $0$.

La función de Dirichlet

La diferencia entre el límite y función de dirichlet se debe a que su límite en el exponente ha $n$ en lugar de $2n$. Debido a que su función no está definida para algunos valores de $k$$x$, pero de dirichlet funciones está definida para todos los números reales. Dirichlet función se define como $$f(x)=\lim_{k\to\infty}\left(\lim_{n\to\infty}\cos^{2n}\left(\pi k!x\right)\right)$$ donde $n,k\in\mathbb{N},x\in\mathbb{R}$. Es igual a $1$ si coseno es $1$ y es igual a $0$ lo contrario. Ahora, consideran los casos en que el coseno es $1$. Esto sucede cuando el $k!x$ es un número entero. Debido a $k!$ dividido por cualquier número entero todavía permanece entero (incluye todos los números racionales porque la división por número racional $\frac pq$ donde $p,q\in\mathbb{N}$ es dividir por $p$ y multiplicando por $q$) podemos concluir que es $k!x$ se entero por todos racional $x$. De lo contrario, $k!x$ no está entero y no racional. Esto prueba que las funciones de dirichlet es $1$ a los números racionales e $0$ a los números irracionales.

Answer 2

$|sin(f(x))| ≤ 1,$ $lim_{n->∞} sin^n(f(x))$ es igual a 0 para todos los puntos donde la función de las Naciones Unidas-exponenciales es desigual a ±1. Incluso en esos puntos, los que fueron originalmente 1 permanecerá iguales a 1, pero los que tenían igual a -1 rebotará hacia adelante y hacia atrás entre 1 y -1 como el exponente cambia entre incluso para números impares.