Subgrupo de $\mathbb{Q}$ con un límite, índice de

Question

Considerar el grupo $\mathbb{Q}$ en virtud de la adición de números racionales. Si $H$ es un subgrupo de $\mathbb{Q}$ con un límite, índice, a continuación,$H = \mathbb{Q}$.

Acabo de ver esto en nuestro examen anterior y estaba perplejo sobre cómo mostrar esto. Alguna idea?

Answer 1

Demostrar que si $[\Bbb Q:H]=n$, $nq\in H$ para cada $q\in\Bbb Q$. A la conclusión de que $n\Bbb Q\subseteq H$. Pero $n\Bbb Q=\Bbb Q$, lo $H=\Bbb Q$.

Answer 2

Un grupo de $(G,+)$ (no necesariamente conmutativo, a pesar de que como una concesión para el caso especial en que el OP ha preguntado acerca, estoy escribiendo "aditiva") es divisible entre si para cada a $x \in G$ y un entero positivo $n$,$y \in G$$ny = x$.

Aquí hay dos simples pero importantes hechos:

1) Un cociente de una divisible grupo es divisible.

2) La única finito divisible grupo es el trivial grupo.

Aplicando esto a $G = \mathbb{Q}$ y un índice finito subgrupo $H$, obtenemos que $G/H$ es finito y divisible, por lo tanto trivial: $H = G$.

Answer 3

Desde $[\mathbb{Q}:H]=n=\left|\dfrac{\mathbb{Q}}{H}\right|$ a continuación, para cada $q\in\mathbb{Q}$, $n(q+H)=H$. Pero esto significa que $nq+H=H$ o $nq\in H$. Por lo tanto $n\mathbb{Q}\subseteq H$, pero como se indicó anteriormente que $n\mathbb{Q}=\mathbb{Q}$. Por lo tanto, $H=\mathbb{Q}.$