El teorema de funciones formales - Harthshorne teorema 11.1

Question

Deje $f:X \rightarrow Y$ un proyectiva de morfismos de noetherian esquemas, vamos a $\mathcal{F}$ ser coherente gavilla en $X$, y deje $y\in Y$ ser un punto. Para cada una de las $n\geq 1$ definimos

$X_n=X \times_Y Spec (\mathcal O_y/{m_y}^n) $

$\require{AMScd}$ \begin{CD} X_n @>v>> X\\ @V f' V V\Box @VV f V\\ Spec \mathcal O_y/{m_y}^n @>>v'> Y \end{CD}

1.Para n=1, obtenemos $X_n=X_y$

2.Para $n\geq 2$, obtenemos un esquema con nilpotent elementos que tienen el mismo subyacente espacio como $X_y$. Es una especie de "engrosamiento de la fibra" de $X$ sobre el punto de $y$.

3. Deje $\mathcal{F_n}=v^{*}\mathcal {F}$, Luego tenemos natural mapas, para cada una de las $n$

   $R^{i}f_{*}\mathcal{F}\otimes \mathcal{O_y}/m_y^n\rightarrow R^{i}f'_{*}(\mathcal{F_n})$

Pregunta- ¿Cómo podemos obtener de este mapa?

Mi Intento: Tenemos un mapa $v'^{*}({R^if_{*}(\mathcal F)})\rightarrow R^i f'_{*}{v^*{\mathcal{F}}}=R^i f'_{*}{\mathcal {F_n}}$. ---(1)

No entiendo por qué es $v'^{*}({R^if_{*}(\mathcal F)})=R^if_{*}(\mathcal F)\otimes\mathcal O_y/{m_y}^n $.

4. Desde $Spec(\mathcal O_y/{m_y}^n)$ es un esquema afín concentrada en un punto en el lado derecho de la ecuación es $H^i(X_n, \mathcal{F_n})^\sim =H^i(X_n, \mathcal{F_n})$ (Ya que el esquema es uno de los puntas)

   5. Como n varía, ambos lados de forma inversa sistemas.

Pregunta: ¿Cómo se forma un inversa sistema? ¿Qué son los mapas $H^i(X_n, \mathcal{F_n})\rightarrow H^i(X_m, \mathcal{F_m})$ $R^{i}f_{*}\mathcal F\otimes \mathcal{O_y}/m_y^n \rightarrow R^{i}f_{*}\mathcal F\otimes \mathcal{O_y}/m_y^m$ que hace un inversa sistema?

Answer 1

El natural de mapa de $H^i(X_n, \mathcal F_n) \to H^i(X_m, \mathcal F_m)$ al $n \ge m$ puede ser establecido de la siguiente manera:

Desde $f:\ X \to Y$ es proyectiva, por hipótesis, $f$ está separado. Por lo tanto, a partir de la canónica de morfismos: $$ X_n = X \times_Y \mathrm{Spec} \mathcal O_y/m_y^n \to \mathrm{Spec} \mathcal O_y/m_y^n ,$$ y las propiedades de los separados morfismos, vemos a $X_n \to \mathrm{Spec} \mathcal O_y/m_y^n$ está separado. Pero desde $\mathrm{Spec} \mathcal O_y/m_y^n$ sí está separado, $X_n$ está separado. En consecuencia, podemos utilizar Cech cohomology para calcular el $H^i(X_n, \mathcal F_n)$. Así que el natural morfismos $g: X_m \to X_n$ inducida por la de $\mathcal O_y/m_y^n \to \mathcal O_y/m_y^m$, e $g^*(\mathcal F_n) \to \mathcal F_m$ dar el mapa de $H^i(X_n, \mathcal F_n) \to H^i(X_m, \mathcal F_m)$ queremos. Ten en cuenta todos los $X_n$ son homeomórficos como espacios topológicos.