¿Cuál es la relación entre el vector y su matriz asociada de simétrica oblicua?

Question

Este es mi primer post en este foro, así que saludos a todos!

Estoy trabajando con la geometría (es decir, áreas, volúmenes y las inercias de los polígonos y poliedros en el espacio 3D). Para hacer eso, yo uso tanto el Producto Cruzado y la Paralelos al Eje Teorema, entre otros.

De acuerdo a wikipedia, estos pueden ser definidos, mediante el uso de la

[...] sesgar matriz simétrica asociada con el vector de posición [...]

y luego operando en ellos (ver enlaces)

Entonces, mi pregunta es:

¿Cuál es la conexión entre el$ \vec{r} = (x,y,z)$$ [r]=\left( \begin{array}{ccc} 0 & -z & y \\ z & 0 & -x \\ -y & x & 0 \end{array} \right)$ ?

Después de googlear y buscar una respuesta para esto, por un tiempo, no he sido capaz de encontrar una respuesta. Creo que puede tener algo que ver con los vectores propios, pero simplemente no estoy seguro.

Cualquier ayuda será apreciada!

Gracias!

Answer 1

Parece que han intercambiado $y$ $z$ en su fórmula, sino $A=\begin{pmatrix}0&-z&y\\z&0&-x\\-y&x&0\end{pmatrix}$ es la matriz tal que $A\vec v=\vec r\times\vec v$ todos los $\vec v$.

El hecho de que esta matriz es sesgar simétrica se corresponde con el hecho de que $\vec r\times \vec v$ es siempre perpendicular a $\vec v$ -- el skew-matrices simétricas son exactamente aquellos donde $\vec v\cdot A\vec v=0$ para todos los vectores columna $\vec v$.

Es algo muy interesante, que todos los $3\times 3$ sesgo de simetría de la matriz surge de esa forma, así que cuando usted tiene una transformación lineal $\mathbb R^3\to\mathbb R^3$ cuando la salida es siempre perpendicular a la de entrada, que la transformación es necesariamente el mismo que cruzar adecuadamente con un escogido $\vec r$. En otras dimensiones que $3$ esto no funciona debido a que el espacio vectorial de sesgo de simetría de las matrices tiene una dimensión diferente que el espacio en sí mismo-esto es, de hecho, una de las razones por las que no es sencillo generalización de la cruz del producto a otras dimensiones que $3$. (Estas generalizaciones no existen, pero no pueden ser reclamados para ser sencillo).

Answer 2

Si desea que sólo vector de definición de la alineación simétrica de la matriz de asumir $r$ es un vector $= [r_x r_y r_z]^T$ en el marco descrito por versors $i, j, k$, a Continuación, skew-simétricos matriz $S(r)$ asignado para el vector $r$ se construye de esta manera $$S(r) = \begin{pmatrix} r \times i \ \ r \times j \ \ r \times k \end{pmatrix}$$

Como se puede ver en la forma de matriz que usted ha escrito en la primera columna de $r_x$ falta, en la segunda $r_y$ , en el tercer $r_z$, por lo que las columnas son perpendiculares a$i, j, k$$r$. Esta es la única de la matriz (a hasta la escala de columnas) que tiene la propiedad.